基于FPGA的自然對(duì)數(shù)變換器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

摘要：本文利用CORD IC算法在FPGA上實(shí)現(xiàn)了自然對(duì)數(shù)運(yùn)算器。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該對(duì)數(shù)運(yùn)算器的輸出誤差為10-4數(shù)量級(jí)，最高頻率可達(dá)到80MHz。該運(yùn)算器適用于高速大數(shù)據(jù)量的數(shù)據(jù)處理。

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)運(yùn)算；CORD IC算法；FPGA；對(duì)數(shù)變換器

　　*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No.60174032，60674111)
　　2008年4月28日收到本文。李剛：教授，從事信號(hào)檢測(cè)與處理、智能儀器儀表的研究。

引言

　　在需要硬件實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算的場(chǎng)合[1]，其精度和速度是必須考慮的問(wèn)題。目前硬件實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)變換的方法主要有查表法、泰勒公式展開(kāi)法和線性近似法。查表法[2]所需要的存儲(chǔ)單元隨著精度的增加或輸入值范圍的增大而成指數(shù)增加；泰勒公式展開(kāi)法[3]需要乘法器，面積大不易實(shí)現(xiàn)；線性近似法[4]的精度有限，且需要誤差校正電路，實(shí)現(xiàn)較難。

　　本文利用CORD IC算法在FPGA上實(shí)現(xiàn)了高速自然對(duì)數(shù)變換器。CORD IC算法即坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算方法最初由J.D.Volder[5]于1959年提出，其基本思想是用一系列與運(yùn)算基數(shù)相關(guān)的角度的不斷偏擺從而逼近所需旋轉(zhuǎn)的角度。1971年J.S.Walter[6]提出統(tǒng)一的CORD IC算法，把圓周旋轉(zhuǎn)、直線旋轉(zhuǎn)和雙曲旋轉(zhuǎn)統(tǒng)一到同一個(gè)CORD IC迭代方程里，為同一硬件實(shí)現(xiàn)多功能運(yùn)算提供了前提。由于它將許多復(fù)雜的算術(shù)運(yùn)算化成簡(jiǎn)單的加法和移位操作，在不影響運(yùn)算速度和精度的情況下，極大的降低了硬件設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，節(jié)約了硬件資源。利用CORD IC算法可以直接實(shí)現(xiàn)乘法、除法、正余弦函數(shù)，反正切函數(shù)、雙曲函數(shù)等，對(duì)輸入進(jìn)行適當(dāng)?shù)某跏蓟梢詫?shí)現(xiàn)正切、雙曲正切、對(duì)數(shù)和指數(shù)等函數(shù)。

　　在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域用的較多的是DSP和FPGA。DSP的優(yōu)勢(shì)源于多數(shù)信號(hào)處理算法的乘-累加運(yùn)算(MAC)都是非常密集的。FPGA通過(guò)多極流水線架構(gòu)也能夠用來(lái)實(shí)現(xiàn)MAC單元，并且FPGA技術(shù)可以通過(guò)一個(gè)芯片上的多級(jí)MAC單元來(lái)提供更多的帶寬，速度可以比數(shù)字信號(hào)處理芯片快，并且功耗較低。CORD IC算法完全由移位和加法操作完成，因此利用FPGA可以實(shí)現(xiàn)更高的運(yùn)算速度。本文采用流水線結(jié)構(gòu)在FPGA上實(shí)現(xiàn)基于CORD IC的對(duì)數(shù)變換，可以達(dá)到80MHz的處理速度。

CORD IC算法實(shí)現(xiàn)自然對(duì)數(shù)運(yùn)算

　　CORD IC算法最初是用于計(jì)算三角函數(shù)的，后來(lái)由于其算法的簡(jiǎn)單、硬件易于實(shí)現(xiàn)等多種優(yōu)勢(shì)，而被廣泛的用于多種初等函數(shù)的運(yùn)算中(包括三角函數(shù)、乘除法運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算等)。本文主要利用CORD IC算法的雙曲旋轉(zhuǎn)法實(shí)現(xiàn)自然對(duì)數(shù)運(yùn)算。

　　在雙曲坐標(biāo)系下，CORD IC算法的迭代方程為：

　　由于 ，所以迭代序列必須從n=1開(kāi)始，為保證迭代序列收斂，因此迭代序列n的取值從第4項(xiàng)開(kāi)始每隔3n+1項(xiàng)必須重復(fù)一次，即n=1，2，3，4，4，5，…，40，40，…。

　　在向量模式下，經(jīng)n次迭代后的輸出方程為：

　　因?yàn)?img class="" height="46" alt="" width="144" src="http://editerupload.eepw.com.cn/200808/941ddd211c8f9ff09a531d8e8a2039be.JPG" />

　　所以令x=t+1，y=t-1

　　則

　　所以對(duì)于t，如果我們要求lnt，只要做如下初始化：

　　X=t+1，y=t-1，z=0

　　則輸出z=0.5ln(t)，只需要在CORD IC之后做一次左移即可。

　　如(2)式所示，為保證迭代序列的收斂，|tanh^-1(y₀/x₀)|≤1.1182，因此|y/x|_max≈0.8069，n→∞，反雙曲正切的定義域?yàn)?-1，1)，可見(jiàn)函數(shù)的輸入范圍受到了限制。解決的方法是增加n為負(fù)數(shù)的迭代，改進(jìn)的算法公式為：

　　當(dāng)n≤0時(shí)

　　當(dāng)n>0時(shí)

　　收斂的范圍變成

　　|tanh^-1(y/x)|≤θ_max

　　其中   

　　當(dāng)M=5時(shí)，θ_max=12.4264，函數(shù)tanh^-1的范圍是[-12.4264，12.4264]。也就是說(shuō)此時(shí)y/x可以接近于[-1，1]，幾乎覆蓋tanh^-1的整個(gè)定義域。因此硬件實(shí)現(xiàn)過(guò)程中可以從-5開(kāi)始迭代。

對(duì)數(shù)運(yùn)算的FPGA實(shí)現(xiàn)

　　CORD IC算法完全由移位和相加完成，很容易在硬件上實(shí)現(xiàn)。由于FPGA具有并行處理能力，利用FPGA實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)變換，速度可以比數(shù)字信號(hào)處理芯片快，以滿足某些高速處理的要求。本文采用的FPGA芯片是Altera公司的cyclone系列芯片EP1C6Q240C8。該芯片內(nèi)部共有邏輯單元5980個(gè)，支持近12萬(wàn)門(mén)的設(shè)計(jì)，內(nèi)部嵌有約12Kbyte的RAM，包含2個(gè)生成時(shí)鐘的鎖相環(huán)，最大用戶I/O數(shù)185個(gè)，滿足設(shè)計(jì)要求。