分數階Fourier變換應用于水聲通信及其FPGA實現(xiàn)

　　摘要：線性調頻信號瞬時頻率隨時間呈線性變化，其在分數階傅里葉變換域中具有能量聚焦特性，利用這一特性，將分數階傅立葉變換應用于由LFM信號充當信息載體的水聲通信體制中。研究表明：該應用能夠提高系統(tǒng)的抗噪聲干擾、抗多徑干擾和頻率選擇性衰減的能力。并在FPGA上完成了該方法的實現(xiàn)，驗證了算法的可行性。

　　引言

　　近年來，隨著海洋活動增多，水聲通信逐漸嶄露頭角。早期的水聲通信多使用模擬調制技術^[1][2]，而新的水聲通信系統(tǒng)開始采用數字調制技術。主流數字調制技術有幅移鍵控(ASK)、頻移鍵控(FSK)和相移鍵控(PSK)^[3]。由于水聲信道的特殊性，水聲通信的發(fā)展遠遠滯后。該信道中，線性調頻信號性能優(yōu)良^[4]。線性調頻信號在分數階傅里葉變換域中具有能量聚焦特性，將其應用于水聲通信中，能夠提高系統(tǒng)的抗噪聲干擾、抗多徑干擾和頻率選擇性衰減的能力^[5]。

　　分數階Fourier變換(Fractional Fourier Transform: FRFT)是一種統(tǒng)一的時頻變換，它用單一的變量同時反映出信號在時域和頻域的信息，避免了交叉項的困擾。這使得FRFT比傳統(tǒng)的Fourier變換(Fourier Transform: FT)更適合處理非平穩(wěn)信號，特別是Chirp類信號。FRFT發(fā)展至今，理論研究較多，但將其進行硬件實現(xiàn)的較少。本文基于Ozaktas的分解型算法^[6]，結合數字信號處理方法^[7]，初步研究了基于分數階Fourier變換的U域調制的水聲通信算法，并在FPGA上進行了實現(xiàn)。

　　分數階Fourier變換基本原理

　　分數階Fourier變換的定義

　　Fourier變換是一種線性算子，若將其看作從時間軸逆時針旋轉π/2到頻率軸，則FRFT是從時間軸旋轉任意角α到分數階域(U域)的算子，它聯(lián)系起時域與分數階域。因此，可認為FRFT是一種廣義的FT。

　　定義在時域的函數x(t)的p階FRFT是一個線性積分運算，其定義式為：
???????? ?

　　FRFT可以理解為Chirp基分解。一個Chirp信號在某個對應的分數階域(U域)對應一個沖擊函數。因此，Chirp信號通過FRFT在某個分數階域(U域)具有良好的能量聚焦性能。

　　采樣型離散分數階Fourier變換的快速算法

　　由FRFT的定義可知，DFRFT的計算比DFT復雜許多。所以DFRFT在計算上的有效性很重要，一般希望DFRFT的計算復雜度可與FFT相比。DFRFT定義方法可采用直接采樣連續(xù)分數階Fourier變換核來得到DFRFT核矩陣。

　　Ozaktas的采樣型算法由H.M.Ozaktas提出^[8]：根據連續(xù)FRFT的積分定義式，將FRFT的復雜積分變換分解為若干簡單的計算步驟，然后經兩步離散化處理得到一個離散卷積表達式，這樣便可利用FFT來計算FRFT。因此，這種算法的計算速度幾乎和FFT相當。本文FRFT的FPGA實現(xiàn)主要采用這種方法，并對這種算法做一個實現(xiàn)上的改進。

　　Ozaktas的采樣型算法將FRFT分解為以下三步運算：

　　(1)Chirp信號調制原信號x(t)，;?

　　(2)調制信號與另一個Chirp信號卷積，;?

　　(3)用Chirp信號調制卷積后的信號，。?

　　這種快速算法的機理決定了在進行FRFT數值計算前必須對原始信號進行量綱歸一化處理，參考文獻^[9][10]提出了兩種實用的量綱歸一化方法：離散尺度化法和數據補零/截取法。