基于WLS-KF的GPS非線性動(dòng)態(tài)濾波研究

摘要：為了提高動(dòng)態(tài)定位精度，將卡爾曼(KF)算法應(yīng)用到GPS非線性動(dòng)態(tài)定位解算中，提出加權(quán)最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法。通過加權(quán)最小二乘(WLS)算法得到近似的線性化模型，再將KF算法應(yīng)用到這個(gè)線性化模型進(jìn)行校正。因此既保持了KF算法能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估算的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)各個(gè)測(cè)量值進(jìn)行了聯(lián)系制約，具有更高的精度。結(jié)果表明，這種方法精度介于EKF和UKF之間，且實(shí)現(xiàn)容易，預(yù)測(cè)可靠，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。
關(guān)鍵詞：全球定位系統(tǒng)；卡爾曼濾波；加權(quán)最小二乘；非線性

0 引言
卡爾曼濾波(KF)是一個(gè)不斷預(yù)測(cè)、修正的遞推過程，已經(jīng)越來越多地應(yīng)用于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中。然而在KF模型中，要求觀測(cè)方程是線性形式、狀態(tài)噪聲和測(cè)量噪聲是白噪聲。為了解決這種矛盾，將KF理論應(yīng)用到非線性領(lǐng)域中，擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)應(yīng)用而生，它圍繞狀態(tài)估計(jì)值對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行一階Taylor展開使其線性化，但它存在如下不足：一是當(dāng)非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項(xiàng)無法忽略時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的線性化誤差；二是EKF假定噪聲均為正態(tài)白噪聲，但是一個(gè)正態(tài)自噪聲經(jīng)過非線性變換后通常不再呈現(xiàn)正態(tài)性；三是只有在雅可比矩陣存在時(shí)才能線性化，而很多應(yīng)用中雅可比矩陣很難求。針對(duì)這種情況，Julier和Uhlmann等人提出了一種基于非線性變換——Un-scented變換(UT)的卡爾曼濾波算法(UKF)。它通過確定性采樣得到的一組sigma點(diǎn)，可以獲得更多的觀測(cè)假設(shè)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的均值和協(xié)方差的估計(jì)更為準(zhǔn)確，同時(shí)由于該算法采用了非線性的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，從而避免了線性化誤差。目前，EKF和UKF算法被廣泛應(yīng)用于GPS非線性動(dòng)態(tài)濾波研究中，并取得良好的定位效果。
本文給出了一種加權(quán)最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法，它利用一組離散采樣點(diǎn)，通過WLS方法產(chǎn)生近似線性化預(yù)測(cè)模型，然后用KF算法對(duì)此模型進(jìn)行校正。以該算法為思路，將其應(yīng)用在GPS非線性動(dòng)態(tài)濾波定位解算中，仿真結(jié)果表明該算法精度介于EKF和UKF之間，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)較高精度的定位和跟蹤。

1 算法描述
1．1 WLS算法
LS算法是現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)中數(shù)據(jù)處理的基本工具，這種方法的特點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，在估計(jì)解算時(shí)，不需要知道與被估計(jì)量以及觀測(cè)量有關(guān)的任何統(tǒng)計(jì)信息。
設(shè)X為待估參數(shù)矢量，觀測(cè)矢量為L(zhǎng)。觀測(cè)方程為：

式中：v為觀測(cè)誤差。用泰勒定理展開，得到線性化的觀測(cè)方程為：

式中：A是系數(shù)矩陣；f(X0)表示用先驗(yàn)參數(shù)計(jì)算的理論觀測(cè)向量；b表示擬合后的殘差；△X是對(duì)先驗(yàn)參數(shù)的小修正向量。
LS算法的指標(biāo)是使各次觀測(cè)量與由參數(shù)估計(jì)得到的觀測(cè)量之差的平方和最小，即：

要使上式達(dá)到最小，當(dāng)對(duì)觀測(cè)矢量的質(zhì)量有所了解時(shí)，設(shè)置各個(gè)測(cè)量值的權(quán)重，得到WLS算法的解為：

若更新后的Xk尚未達(dá)到求解精度，則Xk可作為第k+1次迭代的起始點(diǎn)，繼續(xù)進(jìn)行上述運(yùn)算。