基于PSO的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計
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由于FIR數(shù)字濾波器具有系統(tǒng)穩(wěn)定，容易實現(xiàn)線性相位，允許設(shè)計多通帶(或多阻帶)以及硬件容易實現(xiàn)等特點，使得其在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)FIR濾波器的設(shè)計方法是建立在對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上進行設(shè)計的，其中包括窗函數(shù)法、頻率采樣法及最佳一致逼近法。窗函數(shù)法計算簡單，但不能很好地折衷過渡帶與幅頻響應(yīng)誤差之間的矛盾。頻率采樣法直接從頻域處理，原理簡單，計算也不復(fù)雜，但不易精確確定其通帶和阻帶的邊緣頻率，并且使用傳統(tǒng)的查表法，不能保證數(shù)據(jù)最優(yōu)。最佳一致逼近法著眼于整個區(qū)間內(nèi)的總誤差為最小，但并不一定能保證在每個局部誤差都最小。近年來許多學(xué)者將先進方法用于FIR濾波器優(yōu)化設(shè)計，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和遺傳算法等。這些算法具備一定的有效性，但存在理論復(fù)雜，收斂速度慢，容易早熟收斂等不足。在此，提出一種改進粒子群優(yōu)化算法(IMPSO)的FIR濾波器設(shè)計方法。該方法計算量小，整定時間短，并能有效克服早熟收斂的問題。
1 引入粒子聚合度的改進粒子群優(yōu)化算法
1．1 粒子群優(yōu)化算法(PSO)
PSO算法是美國Kennedy和Eberhart受鳥群覓食行為的啟發(fā)，于1995年提出的。該算法的思想是通過種群粒子間的合作與競爭，產(chǎn)生群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索。PSO算法可用式(1)表示。
式中：vidk是粒子i在第k次迭代中第d維速度；xidk是粒子i在第k次迭代中第d維的位置；ω是慣性權(quán)值系數(shù)；pbestidk，是粒子i在第k次迭代中第d維個體極值點的位置(即個體最優(yōu))；gbestdk是整個種群在第k次迭代中第d維全局極值點的位置(即全局最優(yōu))；r1，r2是[0，1]之間的隨機數(shù)；c1，c2是加速系數(shù)，或稱學(xué)習(xí)因子。
1．2 帶粒子聚合度的改進粒子群優(yōu)化算法
由式(1)可知，如果粒子的當(dāng)前位置在gbest，此時個體極值點與全局極值點為同一點，即pbest與gbest相同。這時粒子速度若等于零，則種群的粒子將會出現(xiàn)進化停滯，算法只能收斂到種群目前尋找到的最優(yōu)解gbest。假如這時gbest對應(yīng)的只是一個局部最優(yōu)解，那么算法就出現(xiàn)了早熟收斂現(xiàn)象。
針對PSO算法存在早熟和局部收斂的問題，在基本PSO的基礎(chǔ)上，加入粒子聚合度n和一個線性遞減的慣性權(quán)值系數(shù)ω，對PSO算法進行改進。
聚合度n是用來反映粒子群聚集程度的一個系數(shù)。當(dāng)粒子群出現(xiàn)高度聚集，進化停滯時，n隨迭代次數(shù)遞增；當(dāng)n大于一個閾值λ(此閾值根據(jù)具體情況選擇)時，對粒子進行變異，使變異粒子跳離當(dāng)前位置，進入其他區(qū)域。在其后的搜索中，算法有新的個體極值pbest和全局極值gbest，從而跳出局部收斂。多次循環(huán)迭代后，就能找到全局最優(yōu)。
改進的算法可用式(2)和式(3)表示：
式(2)中rand是[0，1]間的隨機數(shù)：
式中：max Xd和min Xd分別是粒子在d維空間上的最大值和最小值。
慣性權(quán)值系數(shù)叫決定控制算法的收斂特性，當(dāng)ω較大時，全局搜索能力強；當(dāng)ω較小時，局部搜索能力強。文獻[6]通過大量實驗證明，如果ω隨算法迭代的進行而線性減小，將顯著改善算法的收斂性能。在此，?。?/p>
式中：(ωmax為最大慣性權(quán)值系數(shù)；ωmin為最小慣性權(quán)值系數(shù)；k為迭代次數(shù)；ksum為迭代總數(shù)。
2 用IMPSO設(shè)計FIR數(shù)字濾波器
2．1 FIR數(shù)字濾波器分析
N階FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)為k(0)，k(1)，…，k(N-1)，其傳遞函數(shù)可表示為：
取z=ejω，可得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為：
如果設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的理想頻率響應(yīng)為Hd(ejω)，則設(shè)計濾波器與理想FIR濾波器的誤差e可通過對兩濾波器的幅度在一定量的離散點上的誤差平方和來表示，即取M個離散點時：
由式(7)容易知得，誤差e是濾波器N個系數(shù)h(n)(n=0，1，…，N-1)的函數(shù)。對FIR濾波器的設(shè)計，就要選取合適的濾波器系數(shù)h(n)，使誤差e最小。顯然，h(n)的選取是一個組合優(yōu)化問題，因此可通過優(yōu)化算法求解濾波器系數(shù)h(n)，實現(xiàn)FIR設(shè)計。
2．2 適應(yīng)度函數(shù)
IMPSO通過適應(yīng)度函數(shù)來確定粒子當(dāng)前位置的優(yōu)劣，因此選式(7)作為優(yōu)化設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的適應(yīng)度函數(shù)。即：
顯然，F(xiàn)ithess函數(shù)值越小，則對應(yīng)濾波器的幅度均方誤差就越小，該粒子就對應(yīng)更佳的濾波器系數(shù)。算法結(jié)束后，適應(yīng)度最小的粒子所代表的參數(shù)值就是濾波器的最優(yōu)系數(shù)。
2．3 算法編碼及流程
為了用IMPSO算法求解h(n)，應(yīng)對優(yōu)化參數(shù)h(0)，h(1)，…，h(N-1)進行適當(dāng)?shù)木幋a，以形成IMPSO算法中的粒子。算法用實數(shù)來表示各參數(shù)，h(0)，h(1)，…，h(N-1)分別表示N個粒子當(dāng)前的位置；vh(0)，vh(1)，…，vh(N-1)分別表示當(dāng)前粒子的速度；pbest(0)，pbest(1)，…，pbest(N-1)表示各粒子的個體最優(yōu)，gbest表示全體的最優(yōu)解。算法流程如圖1所示。
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