開槽波導(dǎo)3次諧波回旋行波放大管非線性理論與數(shù)值模擬

　　當角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數(shù)kc的值可由式(10)通過數(shù)值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線性理論
　　在熱腔中，高頻場沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(r,φ)的分布函數(shù)與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區(qū)中的熱腔高頻電場分量(TE波)表達式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場歸一化系數(shù)，f(z)為一復(fù)函數(shù)，代表高頻場沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發(fā)［8］，可推得電子在高頻場(E,B)和直流磁場(B0)作用下的運動方程.每個電子有6個運動參量方程，這里僅給出了速度分量及動量空間角3個運動參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對論因子，φ為動量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發(fā)，經(jīng)過一系列復(fù)雜的推導(dǎo)并對電流進行離散化后得到非線性注波互作用場方程為

　(18)

上式中，P為在一個高頻場周期內(nèi)所取的電子注批數(shù)，M為考慮電子注厚度因數(shù)而將電子注化分的圈數(shù)，N為每圈上所取的宏電子數(shù)，S為諧波次數(shù).〈…〉表示對初始速度分布函數(shù)為g0(v⊥,vz)的速度空間進行平均.設(shè)電子注為單能電子注，速度零散主要來自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態(tài)分布規(guī)律來處理速度零散，即初始速度分布函數(shù)為

式中K為歸一化常數(shù),△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數(shù)．
邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)為輸入高頻場電場幅值.
　　方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個宏電子，則一共有6NT+2個一階非線性微分方程，結(jié)合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫塔法對注波互作用進行數(shù)值計算，計算結(jié)果在下部分內(nèi)容中給出并討論.