如何用插值查找表簡便實(shí)現(xiàn)FPGA的DSP功能

作為賽靈思的現(xiàn)場工程師，我常常問這樣的問題：我們是否能夠提供一款其功能可滿足客戶所有獨(dú)特設(shè)計(jì)要求的DSP內(nèi)核。有時(shí)候內(nèi)核會(huì)太大，太小或者不夠快。有時(shí)，我們會(huì)開發(fā)一款能確切滿足客戶需求的內(nèi)核，并迅速以CORE GeneratorTM商標(biāo)推出。不過即便在這種情況下，客戶仍然想要一套特定的DSP功能，而且刻不容緩。在這些情況下，我常常建議他們使用我們器件中的插值查找表來定制他們的DSP功能。

查找表 (LUT) 實(shí)質(zhì)上是一個(gè)存儲(chǔ)元件，能夠根據(jù)任何給定的輸入狀態(tài)組合，“查找”輸出，以確保每個(gè)輸入都有確切的輸出。采用LUT來實(shí)現(xiàn) DSP功能具有一些重大優(yōu)勢：

您可用諸如MATLAB?或Simulink?等高抽象層編程語言改變LUT內(nèi)容。

您可以設(shè)計(jì)一項(xiàng)DSP功能來運(yùn)行那些采用離散邏輯運(yùn)算將極度困難的數(shù)學(xué)函數(shù)，比如l y=log(x)、y=exp(x)、y=1/x、y=sin(x) 等。

LUT還可輕松執(zhí)行在可配置邏輯塊 (CLB)l 芯片，以及嵌入式乘法單元或DSP48可編程乘法累加 (MAC) 單元方面可能要求過多FPGA資源的復(fù)雜數(shù)學(xué)函數(shù)。

不過，以這種方式使用LUT當(dāng)然也會(huì)存在一些弊端。當(dāng)您使用LUT來實(shí)現(xiàn)DSP功能時(shí)，您必須使用塊RAM (BRAM) 元件。若執(zhí)行函數(shù) y=sqrt(x)（其中x 表示16位輸入，y 表示18位輸出），每個(gè)變量則需要約64個(gè)18KB BRAM單元。如果，比如說，您的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)小型化Spartan?器件，或者您有太多的運(yùn)算需要執(zhí)行，無法為每個(gè)變量省出64個(gè)BRAM單元，建議您放棄這種需要如此大量BRAM單元的方法，從系統(tǒng)架構(gòu)的角度來看，這種方法代價(jià)太大。

插值LUT方法不僅具有LUT方法在實(shí)現(xiàn)DSP功能時(shí)所帶來的各種優(yōu)勢，而且無需使用太多BRAM單元。采用這種方法，您可以使用來自容量較小的 LUT （比如，1000字 LUT）的連續(xù)輸出，線性地對其內(nèi)插，以模擬更大容量的LUT。這樣，您就可以實(shí)現(xiàn)比1000 字 LUT 更高的數(shù)值分辨率。此外，通過這種方法，僅需 1 個(gè) BRAM、1 個(gè)嵌入式乘法器（或DSP48），以及少數(shù)幾個(gè)CLB芯片便可實(shí)施控制邏輯，因此LUT的使用成本變得更加合理化。而且，從信噪比的角度來看，其數(shù)值精度也是非常讓人滿意。

當(dāng)然，應(yīng)用插值LUT (ILUT) 方法需要一定的技巧。舉例來說，采用該方法執(zhí)行y=sqrt(x) 函數(shù)時(shí)，可以清楚地顯示ILUT在面積占用、時(shí)序和數(shù)值精度方面的性能。我們先大致看一下這個(gè)示例，然后我再講解部分實(shí)例，說明如何使用這種方法來滿足客戶截然不同的需求，比如讓傳遞函數(shù)呈非線性的傳感器實(shí)現(xiàn)線性化，以及實(shí)施自適應(yīng)有限脈沖響應(yīng)(FIR) 濾波器以消除合成孔徑雷達(dá) (SAR) 圖像上的斑點(diǎn)噪聲。

圖 1. System Generator for DSP中插值查找表頂層方框圖

使用System Generator for DSP進(jìn)行設(shè)計(jì)

為在賽靈思FPGA上實(shí)施DPS算法，我借助了采用MathWorks Simulink基于模型設(shè)計(jì)方法的System Generator for DSP設(shè)計(jì)與綜合工具。System Generator得益于賽靈思在Simulink 環(huán)境中的DSP模塊組，可自動(dòng)調(diào)用CORE Generator為DSP構(gòu)建塊生成高度優(yōu)化的網(wǎng)表。Simulink是一種雙精度浮點(diǎn)設(shè)計(jì)工具，而System Generator則是一款定點(diǎn)運(yùn)算工具。不管怎樣，您只要將這兩種工具協(xié)同使用，就可以定義每個(gè)信號(hào)的總位數(shù)以及每個(gè)信號(hào)的二進(jìn)制位置，從而在定點(diǎn)運(yùn)算中巧妙處理分?jǐn)?shù)。仿真結(jié)果周期精確、位真，因此您可以方便地將它們與MATLAB腳本或Simulink模塊生成的浮點(diǎn)參考值相比較，以檢查量化誤差。

圖1顯示了System Generator中ILUT方案的頂層結(jié)構(gòu)圖。為讓這個(gè)方法盡可能一般化，假設(shè)nx=16位中的輸入變量 x 的取值范圍為0≤x＜1，因此其格式為“無符號(hào)16位加上二進(jìn)制點(diǎn)右邊的16 位”，也稱為Ufix_16_16格式。最高有效位 (MSB) 和最低有效位 (LSB) 模塊分別對應(yīng)輸入數(shù)據(jù)nb=10的最高位和nx-nb=6的最低位。這些信號(hào)被命名為x0和dx。y=sqrt(x) 輸出則以ny=17位二進(jìn)制數(shù)表示，格式為：Ufix_17_17。

圖2顯示了1000字小容量LUT通過雙端口RAM模塊的部署步驟。由于該模塊系只讀存儲(chǔ)器，布爾常數(shù)模塊We_const強(qiáng)制將寫入歸零。信號(hào) X0和X0+1則用作ROM表上后續(xù)的兩個(gè)地址。Data_const模塊的零常數(shù)定義了任何ROM字的大?。幢纠械膎y）。

下面的公式顯示了以x0為x的最高有效位的情況下，如何在兩個(gè)已知點(diǎn)（x0，y0）和（x1，y1）之間插入坐標(biāo)為（x，y）的點(diǎn)：

注意X1和X0是這個(gè)小容量LUT的相鄰地址，它們之間只隔了一個(gè)最低有效位。由于這個(gè)小容量LUT的地址空間為nb 位，那么該LSB的值為2-nb。

圖2 System Generator for DSP中的小容量LUT圖

圖3 System Generator for DSP的線性內(nèi)插圖

內(nèi)插步驟見圖3?！癛einterpret”模塊在不改變二進(jìn)制表示法的情況下，可改變dx=x-x0信號(hào)。其重置了二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)（從 UFix_6_0到UFix_6_6格式），并輸出nx-nb位二進(jìn)制數(shù)的一個(gè)分?jǐn)?shù)，從而計(jì)算出 (x-x0)/2-nb 的值。

從硬件角度來看，這些模塊什么都不占用?？偟膩碚f（且根據(jù)我們通過ILUT方法應(yīng)用的函數(shù)類型），如果y1=0且y0=0，我們可以強(qiáng)制y1- y0=1，這樣我們就可以得到1/2-nb而不是0。我們采用Mux、Rational、Constant和Constant1模塊來執(zhí)行這項(xiàng)工作。剩下的Mult、Add和Sub模塊則執(zhí)行線性內(nèi)插公式。在本例中，我強(qiáng)制Mult模塊的輸出信號(hào)為17位分辨率，而非理論上要求的23位，因?yàn)榭傮w數(shù)值精度對本試驗(yàn)來說已經(jīng)足夠。此外，由于y-sqrt(x) 函數(shù)呈單調(diào)遞增，因此所有結(jié)果都無符號(hào)。換句話說，不同的函數(shù)需要對數(shù)據(jù)類型進(jìn)行不同的精心調(diào)整，但不會(huì)與圖3所示的原理相去甚遠(yuǎn)。

假定我們以Spartan-3E 1200（fg320-4）為目標(biāo)器件，現(xiàn)使用ISE設(shè)計(jì)套件和System Generator for DSP 10.1 SP3版工具對其進(jìn)行布局和布線，結(jié)果其所占用的FPGA資源的總體情況如下：

該設(shè)計(jì)完全流水線作業(yè)，可以在任何一個(gè)時(shí)鐘周期提供新的輸出。時(shí)延為10個(gè)時(shí)鐘周期，最大數(shù)據(jù)速率達(dá)194.70MSPS（每秒百萬采樣數(shù)）。從數(shù)值精度來說，對1000或2000字ILUT而言，參考浮點(diǎn)結(jié)果與System Generator for DSP定點(diǎn)輸出的量化誤差之間的比值，即信噪比分別為 71.94dB或77.95dB。

除ILUT外，我們還可應(yīng)用賽靈思System Generator for DSP提供的Reference Math Blockset（參考數(shù)學(xué)模塊組）中的CORDIC SQRT模塊。在本例中，總時(shí)延為37個(gè)時(shí)鐘周期，最大數(shù)據(jù)速率達(dá)115.18 MSPS，區(qū)域資源占用為940片觸發(fā)器，總共有885個(gè)四輸入LUT，560個(gè)占用的芯片以及兩個(gè)MULT 18x18嵌入式乘法器。信噪比為40.64dB。這些結(jié)果顯示CORDIC是實(shí)施定點(diǎn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理想方法，但I(xiàn)LUT在許多方面更加出色。

線性化非線性傳感器

目前許多企業(yè)在工業(yè)控制系統(tǒng)中使用“智能傳感器”，以滿足低占用面積、低功耗、高性能、最低成本以及最短開發(fā)時(shí)間等要求。通用智能傳感器可視為一個(gè)由傳感器及其信號(hào)控制線路、模數(shù)轉(zhuǎn)換器 (ADC) 、帶或不帶嵌入式處理器的相關(guān)DSP子系統(tǒng)組成的功能組件，所有這些功能塊都集成在的同一器件上，如圖4所示。

智能傳感器的目的是將物理量（如電機(jī)中的電流）轉(zhuǎn)化為數(shù)字電路能夠處理的數(shù)字信號(hào)。構(gòu)建這類傳感器所采用的技術(shù)及組件的某些特性通常會(huì)導(dǎo)致諸如失調(diào)、增益和非線性等誤差，進(jìn)而導(dǎo)致總體傳遞函數(shù)呈非線性。

一般來說，客戶會(huì)校正他們產(chǎn)品中運(yùn)行的DSP子系統(tǒng)所出現(xiàn)的上述誤差。如果 y=f(x) 是來自傳感器和ADC級聯(lián)的數(shù)字輸出信號(hào)，那么DSP必須執(zhí)行其反函數(shù)g(y)=f-1(y) 來補(bǔ)償非線性函數(shù)，這樣總體輸出z即為：

這是直線方程，其斜率為m，縱截距為b。

圖4. 智能傳感器的方框圖

最簡單的線性化方法是LUT法，采用存儲(chǔ)在ROM中的傳感器校準(zhǔn)點(diǎn)。不過，對16位的ADC來說，ROM顯得過大了，且需要64個(gè)BRAM單元。而內(nèi)插LUT則不然，是一個(gè)良好的解決方案。

舉例來說，我們假定非線性傳遞函數(shù)是一條拋物線。下一 MATLAB分段碼說明了如何生成最終直線的m和b參數(shù)，以及如何計(jì)算 g(y)（即 f(x) 的反函數(shù)）。圖5用三種顏色顯示了三條不同曲線。請注意在計(jì)算 f(x) 的反函數(shù) g(y) 過程中會(huì)丟失一些值。這是因?yàn)橛袔讉€(gè)y值相同的點(diǎn)對應(yīng)著不同的x點(diǎn)。因此，需要對 g(y) 進(jìn)行平滑化，填補(bǔ)所有缺失的點(diǎn)。（為精確起見，我沒有把這部分運(yùn)算包括在MATLAB分段碼中）

圖5.黑色拋物線表示非線性傳感器傳遞函數(shù)f(x) 的曲線；綠色直線表示線性化DSP子系統(tǒng)獲得的最終線性傳感器傳遞函數(shù)曲線；藍(lán)色拋物線則表示反函數(shù)g(y) 的曲線。

我采用非常類似于圖1-3的設(shè)計(jì)，在System Generator for DSP中運(yùn)行基于定點(diǎn)周期的仿真，在非線性傳感器的總體輸出范圍內(nèi)得到了92.48dB的信噪比。

斑點(diǎn)噪聲消除

跟蹤高速運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的目標(biāo)物體（比如導(dǎo)彈）是一項(xiàng)極富挑戰(zhàn)性的工作，需要非常復(fù)雜的DSP算法以及諸如合成孔徑雷達(dá) (SAR) 等各種不同類型的探測介質(zhì)。作為典型的相干電磁源（如激光），SAR成像器件也受斑點(diǎn)噪聲的影響。因此，任何基于SAR的DSP鏈的第一級都是二維 (2D) 自適應(yīng)FIR濾波器，用以降低這種噪聲（但不可能完全消除）。圖6顯示了斑點(diǎn)噪聲的MATLAB仿真。該噪音對左邊圖像的畫質(zhì)造成了綜合性的不良影響。右邊的圖像是2D FIR濾波器黃金模型的輸出結(jié)果。

圖 6. 斑點(diǎn)噪聲對左邊圖像畫質(zhì)造成了影響，右邊的是濾波后的圖像

斑點(diǎn)噪聲是一種倍增噪聲，呈指數(shù)分布，完全由其方差值σ決定。因此，廣泛使用的抗斑點(diǎn)噪聲的方法就是Frost濾波器（由發(fā)明者 V.S.Frost的名字命名而來）。V.S.Frost 在1981年發(fā)表的論文對這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行了探討。在一個(gè)3x3的矩陣中，可以用下列公式進(jìn)行建模：

其中xij和yij分別代表Frost濾波器的輸入和輸出采樣。K 是控制濾波強(qiáng)度的增益系數(shù)（為方便起見，我在下面假定K=1），μ1和σ分別是2D內(nèi)核的平均值和方差值，Tij是中心輸出像素（系數(shù)ij=22）及所有周邊像素的距離矩陣。下面的等式說明實(shí)施這個(gè)濾波器的關(guān)鍵因素是R1，即3x3矩陣中的一階μ1和二階μ2之間的比值：

R1的取值范圍在0和1之間。根據(jù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)要取得良好的數(shù)值精度，R1可以使用16位至20位二進(jìn)制數(shù)來表示。

我在system Generator for DSP中設(shè)計(jì)R1計(jì)算步驟后，我決定通過內(nèi)插LUT來實(shí)施濾波系數(shù)的歸一化。LUT的內(nèi)容以下列MATLAB代碼表示：

圖7顯示的是歸一化后的系數(shù)沿R1輸入信號(hào)分布的曲線。這里只有三條曲線，因?yàn)?Tij矩陣在系數(shù) ij=22的中心像素周圍呈對稱分布。根據(jù)曲線，與純浮點(diǎn)參考模型相比，數(shù)值結(jié)果顯示信噪比介于81.28至83.38dB之間。對有興趣的讀者，下面的 MATLAB分段碼說明了2D濾波器的處理過程（為簡便起見，沒有包括ILUT函數(shù)）。

圖7 沿斑點(diǎn)噪聲降噪濾波參數(shù)R1分布的歸一化系數(shù)

簡言之，這些例子說明插值查找表是實(shí)施賽靈思FPGA的DSP功能的簡便而強(qiáng)大的方法。插值查找表可幫助您在保持面積占用相對較低的情況下實(shí)現(xiàn)極高數(shù)值精度 (SNR) 和高數(shù)據(jù)速率。