相量如何幫助我們理解帶通信號(hào)

使用相量，我們探索了在射頻通信系統(tǒng)中使用的模型中，如何將實(shí)值帶通信號(hào)表示為復(fù)基帶信號(hào)。

帶通信號(hào)和系統(tǒng)在通信系統(tǒng)中至關(guān)重要。有趣的是，實(shí)值帶通信號(hào)所攜帶的所有信息都包含在一個(gè)對(duì)應(yīng)的復(fù)值基帶信號(hào)中。這種復(fù)基帶表示法對(duì)于理解無線電通信系統(tǒng)極為有幫助。

在本文中，我們將學(xué)習(xí)帶通信號(hào)的復(fù)基帶表示法。作為討論的一部分，我們還將探討交流電路中的相量分析概念。然而，在深入探討之前，讓我們先復(fù)習(xí)一下低通信號(hào)和帶通信號(hào)的定義，確保我們掌握了基礎(chǔ)知識(shí)。

低通信號(hào)和帶通信號(hào)

當(dāng)信號(hào)的頻率內(nèi)容或頻譜以零頻率為中心時(shí)，該信號(hào)被稱為低通信號(hào)。換句話說，低通信號(hào)具有一個(gè)明確的帶寬 B，并且對(duì)于 ∣f∣>B 的頻率，其頻譜含量可以忽略不計(jì)。

圖1展示了低通信號(hào)的實(shí)部和虛部。

圖1. 帶寬為 B 的實(shí)值低通信號(hào)的實(shí)部（a）和虛部（b）。

請(qǐng)注意，如果 s(t) 是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，其傅里葉變換 S(f) 將表現(xiàn)出共軛對(duì)稱性。這意味著 S(f) 的實(shí)部是一個(gè)偶函數(shù)，而虛部是一個(gè)奇函數(shù)。

另一方面，帶通信號(hào)的頻譜以一個(gè)頻率 fc 為中心，而該頻率遠(yuǎn)大于信號(hào)帶寬 B。圖2展示了帶通信號(hào)的實(shí)部和虛部。

圖2. 中心頻率為 fc、帶寬為 B 的實(shí)值帶通信號(hào)的頻譜，分為實(shí)部（a）和虛部（b）。

與圖1中的基帶頻譜類似，圖2也因信號(hào)為實(shí)值而表現(xiàn)出共軛對(duì)稱性。

實(shí)信號(hào)的帶寬定義為信號(hào)中包含的所有正頻率分量的跨度。如果信號(hào)中最高的和最低的正頻率分別是 fmax 和 fmin，那么信號(hào)的帶寬為：

B=fmax?fmin

根據(jù)上述定義，單頻正弦波（頻率為 fc，幅度為 A）的帶寬為零。

s(t)=Acos(ωct+θ)

然而，如果 A 隨時(shí)間緩慢變化，那么我們得到的是一個(gè)具有非零帶寬的調(diào)幅（AM）波。

交流電路中的相量表示

相量是一個(gè)復(fù)數(shù)，用于表示正弦波形的幅度和相位角。在交流電路分析中，相量用于分析與頻率相關(guān)的效應(yīng)。

例如，考慮公式2中所示的單頻正弦波。這個(gè)信號(hào)是一個(gè)復(fù)函數(shù)的實(shí)部：

s(t)=Re{[Aejθ]ejωct}

其中，操作符 Re{?} 表示大括號(hào)內(nèi)量的實(shí)部。我們可以將大括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)表示為復(fù)平面上的一個(gè)向量，其幅度為 A，初始相位為 θ。如圖3所示，這個(gè)信號(hào)以角速度 ωc=2πfc 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

單頻正弦波的相量表示

圖3. 單頻正弦波的相量表示。

該向量在實(shí)軸上的投影（即其實(shí)部）產(chǎn)生了公式2中所示的原始信號(hào)。角項(xiàng) ωct 表示以每秒 fc 轉(zhuǎn)的速度進(jìn)行穩(wěn)定的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。為了獲得信號(hào)的簡(jiǎn)化表示，我們將暫時(shí)忽略這一項(xiàng)。

移除旋轉(zhuǎn)后，得到一個(gè)固定的向量，對(duì)應(yīng)于公式3中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)。這個(gè)與時(shí)間無關(guān)的項(xiàng)是與我們信號(hào)相關(guān)的相量。它由以下公式給出：

s~=Aejθ

要理解相量表示的意義，可以考慮一個(gè)由正弦輸入激勵(lì)的線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)。如圖4所示，這種激勵(lì)在電路的所有節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生正弦信號(hào)。盡管所有這些信號(hào)的頻率相同，但它們的幅度和相位可能不同。

LTI電路產(chǎn)生的正弦信號(hào)可以用相量表示，這些相量具有不同的幅度和初始相位，但以相同的角速度旋轉(zhuǎn)

圖4. LTI電路產(chǎn)生的正弦信號(hào)可以用相量表示，這些相量具有不同的幅度和初始相位，但以相同的角速度旋轉(zhuǎn)。

由于所有這些向量以相同的角速度旋轉(zhuǎn)，它們之間的相位差不會(huì)隨時(shí)間改變。這些向量的幅度比也與時(shí)間無關(guān)。因此，我們可以在特定時(shí)刻凍結(jié)這些旋轉(zhuǎn)的向量。

從電壓和電流量中移除時(shí)間依賴性，使我們能夠?qū)⑺鼈儽硎緸閺?fù)數(shù)值、與時(shí)間無關(guān)的數(shù)。這大大簡(jiǎn)化了電路分析。一旦我們計(jì)算出某個(gè)電壓或電流量的向量，就可以重新引入旋轉(zhuǎn)部分，以確定該量的實(shí)際時(shí)域表達(dá)式。

簡(jiǎn)而言之，相量消除了時(shí)間依賴性的復(fù)雜性，使描述電壓和電流量變得更加容易。通俗地說，你可以將相量視為單頻正弦波的低通或直流等效物。

推導(dǎo)調(diào)制帶通信號(hào)的低通信號(hào)等效形式

到目前為止，我們假設(shè)正弦波的幅度和相位是固定的。然而，類似的分析也可以應(yīng)用于頻率為 fc 的正弦波，其幅度和相位隨時(shí)間緩慢變化。設(shè)以 fc 為中心的調(diào)制波定義為：

sRF(t)=A(t)cos(ωct+θ(t))

其中，A(t) 和 θ(t) 是時(shí)變信號(hào)的瞬時(shí)幅度和相位。上述公式可以改寫為：

sRF(t)=Re{[A(t)ejθ(t)]ejωct}

公式7將括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)分離出來：

sl(t)=A(t)ejθ(t)

這個(gè)項(xiàng)就是帶通信號(hào)的復(fù)基帶表示。上述公式也可以用笛卡爾形式表示：

sl(t)=si(t)+jsq(t)

其中，si(t) 和 sq(t) 是等效基帶信號(hào) sl(t) 的實(shí)值同相分量和正交分量。這些分量由以下公式給出：

si(t)=A(t)cos(θ)和sq(t)=A(t)sin(θ)

由于帶通信號(hào)的同相分量和正交分量變化緩慢，我們知道它們都是低通信號(hào)。將 sl(t) 的笛卡爾形式代入公式6，我們可以用其同相分量和正交分量表示原始的射頻信號(hào)：

sRF(t)=si(t)cos(ωct)?sq(t)sin(ωct)

上述公式表明，帶通信號(hào)可以用兩個(gè)低通信號(hào)表示，即其同相分量和正交分量。

等效低通信號(hào)：可視化表示

帶通信號(hào)的復(fù)低通表示可以看作是一個(gè)時(shí)變相量，其起點(diǎn)位于 (sI?sQ) 復(fù)平面的原點(diǎn)。這在圖5中進(jìn)行了說明。

圖5. 等效基帶信號(hào) sl(t) 作為 (sI?sQ) 平面上的時(shí)變相量。

由于同相分量和正交分量（分別為 si(t) 和 sq(t)）是時(shí)間的函數(shù)，因此相量的末端在 (sI?sQ) 平面上移動(dòng)。

從公式6可以看出，等效基帶信號(hào) sl(t) 乘以復(fù)指數(shù) ejωct 產(chǎn)生帶通信號(hào) sRF(t)。因此，向量 sl(t) 以及 (sI?sQ) 平面以角速度 ωc=2πfc 旋轉(zhuǎn)。

圖6. 包含旋轉(zhuǎn)部分的復(fù)平面上的時(shí)變相量。

原始的帶通信號(hào) sRF(t) 是這個(gè)時(shí)變相量在表示實(shí)軸的固定線上的投影。

重建帶通信號(hào)

公式10立即告訴我們?nèi)绾螐耐喾至亢驼环至恐亟◣ㄐ盘?hào)。從低通到帶通的轉(zhuǎn)換電路如圖7所示。

圖7. 從低通同相和正交信號(hào)生成帶通信號(hào)的框圖。

接下來，我們需要從帶通信號(hào)中確定等效基帶信號(hào)。我們首先將 sRF(t) 乘以 2cos(ωct)：

sRF(t)×2cos(ωct)=A(t)cos(ωct+θ(t))×2cos(ωct) =A(t)[cos(2ωct+θ(t))+cos(θ(t))]

如果我們?yōu)V除兩倍載波頻率的信號(hào)分量，我們得到：

Lowpass[sRF(t)×2cos(ωct)]=A(t)cos(θ(t))=si(t)

類似地，將 sRF(t) 乘以 ?2sin(ωct) 產(chǎn)生：

sRF(t)×(?2sin(ωct))=A(t)cos(ωct+θ(t))×(?2sin(ωct)) =?A(t)[sin(2ωct+θ(t))?sin(θ(t))]

應(yīng)用適當(dāng)?shù)牡屯V波器可以消除兩倍載波頻率的信號(hào)分量，得到：

Lowpass[sRF(t)×(?2sin(ωct))]=A(t)sin(θ(t))=sq(t)

圖8展示了如何使用一對(duì)乘法器和一對(duì)低通濾波器實(shí)現(xiàn)公式12和公式14。

圖8. 從帶通信號(hào)生成低通同相和正交信號(hào)的框圖。

總結(jié)

實(shí)值帶通信號(hào)中的所有信息都包含在一個(gè)對(duì)應(yīng)的復(fù)值基帶信號(hào)中。在本文中，我們學(xué)習(xí)了如何推導(dǎo)帶通信號(hào)的低通信號(hào)等效形式，反之亦然。

值得注意的是，擴(kuò)展這一討論可以讓我們用復(fù)低通濾波器來表示帶通濾波器。為帶通信號(hào)和濾波器都建立低通模型具有極其重要的實(shí)際意義。例如，現(xiàn)代通信收發(fā)器應(yīng)用這些模型來數(shù)字處理復(fù)基帶信號(hào)，從而減少了對(duì)帶通信號(hào)的模擬處理需求。

圖7和圖8中所示的電路對(duì)于理解線性調(diào)制方案至關(guān)重要，無論它們是模擬的還是數(shù)字的。在下一篇文章中，我們將看到Weaver調(diào)制器如何利用這些電路生成單邊帶調(diào)幅信號(hào)。