傳輸線理論：觀測反射系數(shù)和駐波

通過傳輸線、方程和示例波形了解射頻（RF）波的傳播和反射。

自然界中各種類型的波的行為基本相似。就像懸崖上回聲的聲音一樣，當(dāng)電波遇到傳播介質(zhì)阻抗的變化時(shí)就會發(fā)生反射。波的反射會導(dǎo)致一種有趣的現(xiàn)象，稱為駐波。駐波對大多數(shù)樂器產(chǎn)生聲音的方式至關(guān)重要。例如，如果沒有駐波的可預(yù)測性和放大效應(yīng)，弦樂器就無法正常發(fā)揮其作用。

然而，在射頻設(shè)計(jì)中，當(dāng)我們打算將功率從信號鏈中的一個(gè)模塊傳輸?shù)较乱粋€(gè)模塊時(shí)，駐波是不現(xiàn)實(shí)的。事實(shí)上，駐波會影響不同射頻和微波系統(tǒng)的性能，從電波消聲室到微波爐等日常電器。

雖然波傳播和反射的概念并不十分復(fù)雜，但一開始可能會有點(diǎn)令人困惑。可視化波浪如何在不連續(xù)的地方傳播和反射，最佳方法是繪制不同配置的波動方程。

在本文中，我們將首先推導(dǎo)出所需的方程，并通過幾個(gè)示例波形來解釋駐波現(xiàn)象。

輸電線路電壓和電流波動方程

首先，讓我們推導(dǎo)出我們的方程式。我知道這很無聊，但它們確實(shí)幫助我們理解波在傳輸線上是如何傳播和相互作用的。在本系列的前一篇文章中，我們研究了輸電線路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并推導(dǎo)出了電壓和電流方程。將vs（t）=Vscos（ωt）應(yīng)用于線路，電壓和電流波為：

解釋：

A和B是常數(shù)，可以從線路輸入和輸出端口的邊界條件中找到

Z0是特性阻抗

β是相位常數(shù)

這些方程對應(yīng)于圖1（a）所示的配置，其中正x軸方向被選擇為從源到負(fù)載。如果我們用它們的相量來表示這些波，則正向傳播（或入射）波和反向傳播（或反射）電壓波將分別為Ae-jβx和Bejβx，如圖1（a）所示。

圖1 顯示正軸方向的圖表是從源到負(fù)載（a），然后從負(fù)載到源（b）

關(guān)于輸電線路問題，通常更方便的選擇從負(fù)載到電源的正軸方向，如圖1（b）所示。為了找到新的方程，我們需要將原始方程中的x替換為l-d。如新變量d所示，正向行波變?yōu)椋?/p>

其中A1=Ae-jβl是一個(gè)新常數(shù)。從這里可以驗(yàn)證，在新的坐標(biāo)系中，反射波為B1e-jβd，其中B1=Bejβl。因此，總電壓和電流相量如方程式1和2所示。

方程式1

方程式2

這些方程使檢查荷載對波浪反射的影響變得更加容易，因?yàn)樵谶@種情況下，荷載為d=0，簡化了方程。設(shè)d=0，在負(fù)載端得到以下方程，如方程3和4所示。

方程式3

方程式4

例如，讓我們考慮線路在開路中終止的情況。當(dāng)輸出開路（ZL=∞）時(shí)，輸出電流明顯為零。根據(jù)方程式4，我們有A1=B1，因此總電壓為V（d=0）=2A1。

因此，對于開路線路，反射電壓等于輸出端的入射電壓，此時(shí)的總電壓是入射電壓的兩倍。同樣的，我們可以使用方程3和4來算出任意負(fù)載阻抗ZL的反射波與入射波的比率。這個(gè)比率是一個(gè)重要的參數(shù)，稱為反射系數(shù)，我們稍后會說明。

輸入阻抗和反射系數(shù)公式

使用方程式1和2，我們可以找到沿線不同點(diǎn)的電壓與電流之比（即傳輸線的輸入阻抗）。這導(dǎo)出了方程式5。

方程式5

注意到線路負(fù)載端的線路阻抗（d=0）等于負(fù)載阻抗ZL，我們得到：

使用一點(diǎn)代數(shù)，上述方程給出了反射電壓波與入射電壓波的比率（B1/A1），在方程6中定義為反射系數(shù)Γ。

方程式6

上述討論表明，對于端接線路，入射波和反射波之間存在明確的關(guān)系。請注意，一般來說，反射系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)，Γ的幅度和相位信息都很重要。對于功率傳輸，我們試圖有一個(gè)匹配的負(fù)載（ZL=Z0），導(dǎo)致Γ=0。在這種情況下，施加到輸入端的波完全被負(fù)載吸收，不會發(fā)生反射。在這里考慮另外兩種特殊情況是有益的：我們稍后將討論的開路線路和短路線路。

雖然波傳播和反射的概念基本上并不復(fù)雜，但一開始可能會令人困惑。可視化波如何在不連續(xù)處傳播和反射的最佳方法是繪制我們上面開發(fā)的方程。此外，值得一提的是，有許多在線模擬器可以幫助您更好地理解波傳播概念。

短路線路

接下來，讓我們復(fù)習(xí)一下短路線路。短路時(shí)，總輸出電壓應(yīng)始終為零。此外，根據(jù)方程6，我們得到Γ=-1。入射電壓波由下式給出：

圖2中的頂部曲線提供了該方程在三個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)t1、t2和t3的曲線圖，其中t1<t2<t3。

圖2 短路的正向電壓（頂部）、反向電壓（中部）和總電壓（底部）的示例曲線

上述曲線細(xì)分如下：

輸電線路的長度為0.2米

負(fù)載為d=0

β為50弧度/米

信號頻率為2 GHz

請注意，隨著時(shí)間的推移，入射波是如何逐漸向負(fù)載移動的（在d=0時(shí)）。上圖中的中間曲線顯示了遠(yuǎn)離負(fù)載的反射電壓。反射電壓方程為：

其中Γ設(shè)置為-1以考慮短路。總電壓是下曲線中給出的入射電壓和反射電壓之和。正向電壓在沿線所有點(diǎn)（包括線路的負(fù)載端）的最小值和最大值之間波動。然而，反射電壓取入射電壓的相反值，因此負(fù)載端的總電壓始終為零。

總電壓波有一個(gè)有趣的特征：它靜止不動，與它的組成波不同，總電壓波不在任何方向上傳播。例如，最大電壓點(diǎn)和零電壓點(diǎn)不會隨時(shí)間移動。為了更好地說明這一點(diǎn)，圖3繪制了36個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓。

圖3 顯示36個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓的圖

可以看出，過零點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）和最大振幅的位置（波腹）是沿線的一些固定位置。由于波不沿任何方向傳播，因此稱為駐波。

輸電線路開路

對于開路線路（ZL=∞），方程6得出Γ=1。在這種情況下，反射電壓的幅度和相位等于入射電壓。圖4中的頂部和中間曲線分別顯示了開路線上三個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的入射和反射電壓波。

示例圖顯示了開路的正向電壓（頂部）、反向電壓（中部）和總電壓（底部）。

圖4 示例圖顯示了開路的正向電壓（頂部）、反向電壓（中部）和總電壓（底部）

注意，入射波和反射波在d=0時(shí)具有相同的值。因此，總電壓（底部曲線）是負(fù)載端入射電壓的兩倍。由于Γ=1，反射電流Ir的幅度和相位也與入射電流Ii相同。然而，負(fù)載端的總電流為Ii-Ir=0，這并不奇怪，因?yàn)樨?fù)載是開路的。

此外，我們可以再次觀察到總電壓是駐波。這在圖5中得到了最好的說明，圖5繪制了36個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓波。

圖5 示例圖顯示了開路36個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的總電壓波

計(jì)算端接線路的任意負(fù)載

接下來，讓我們使用我們的方程來檢查Γ=0.5的終止線。圖6中繪制了任意時(shí)間的入射和反射電壓波。

圖6 顯示入射和反射電壓波的圖

這兩個(gè)波的傳播方向相反。你應(yīng)該能夠想象，在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)和沿線的某個(gè)特定位置，兩個(gè)波的峰值將重合，產(chǎn)生總電壓波的最大值。如圖7所示。

圖7 示例圖顯示了當(dāng)入射波和反射波的峰值重合時(shí)總電壓波的最大值

此外，在其他時(shí)間點(diǎn)，沿線的特定位置將“看到”較大波浪的峰值和較小波浪的最小值，如圖8所示。

圖8 示例圖顯示了總電壓波，其中入射波和反射波具有相反的峰和谷

在這些點(diǎn)上，總電壓波的振幅處于最小值。在我們的例子中，正向波和反射波的振幅分別為1和0.5。因此，總電壓波的最小振幅為1-0.5=0.5。為了更好地觀察沿線不同點(diǎn)的電壓振幅，圖9繪制了36個(gè)不同時(shí)刻的總電壓波。

圖9 示例圖顯示了36個(gè)不同時(shí)刻的總電壓波

此圖可以讓您了解線上不同點(diǎn)的波動幅度。請注意，雖然d=0.181m等點(diǎn)在±1.5V之間波動，但還有其他點(diǎn)。例如，d=0.1568 m，其振幅要小得多，在±0.5 V之間波動。

你可能會問的一個(gè)問題是，整個(gè)波浪是運(yùn)動的還是靜止的？圖10顯示了一些連續(xù)時(shí)間點(diǎn)（t1<t2<…<t6）的少量總電壓圖，以回答這個(gè)問題。

示例顯示了連續(xù)時(shí)間點(diǎn)的總電壓圖較少。

圖10 示例顯示了連續(xù)時(shí)間點(diǎn)的總電壓圖較少

該圖顯示，隨著時(shí)間的推移，波浪會朝向負(fù)載傳播。請注意，雖然入射波和反射波的振幅是恒定的，但組合電壓的振幅會隨著時(shí)間的推移而上升和下降。

事件、反射和駐波總結(jié)

讓我們總結(jié)一下我們的觀察結(jié)果：

在負(fù)載匹配的情況下，入射波朝向負(fù)載傳播，沒有反射。在這種情況下，波沿線具有恒定的振幅。

對于短路和開路線路，入射波被全反射（Γ=-1或1）。在這種情況下，組合電壓不沿任何方向傳播，稱為駐波。

對于駐波，我們在沿線的固定位置有波節(jié)和波腹。波節(jié)根本不波動，而波腹以最大振幅波動。

對于上述三種情況以外的負(fù)載，我們有一個(gè)隨時(shí)間上升和下降的行波（盡管它實(shí)際上是一個(gè)行波，但我們偶爾仍會輕率地將其稱為駐波）。在這種情況下，我們沒有任何節(jié)點(diǎn)，但有些點(diǎn)的振幅比其他點(diǎn)小。這種情況介于無反射的理想情況（Γ=0）和全反射的最壞情況（Γ=±1）之間。

因此，考慮到所有這些，我們必須知道我們的傳輸線在這個(gè)頻譜的哪個(gè)點(diǎn)上運(yùn)行。參數(shù)VSWR（電壓駐波比）定義為波的最大振幅與其最小振幅的比值，它使我們能夠表征我們離駐波有多近。當(dāng)有全反射時(shí)，VSWR是無限的；對于匹配的負(fù)載，VSWR為1。

至于其他情況，VSWR介于這兩個(gè)極值之間。VSWR為我們提供了一種表征反射量的替代方法。這將在下一篇文章中更詳細(xì)地討論。