為任何 PWM 優(yōu)化一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬濾波器

近有一系列基于 PWM 信號(hào)“處理器”主題的設(shè)計(jì)思想發(fā)表。這些處理器的目的是限度地減少響應(yīng) PWM 占空比變化的建立時(shí)間和殘余 PWM 紋波。在許多情況下，更簡(jiǎn)單的處理器（僅由一個(gè)由電阻器和電容器構(gòu)建的低通濾波器組成）表現(xiàn)良好（圖 1）。

近有一系列基于 PWM 信號(hào)“處理器”主題的設(shè)計(jì)思想發(fā)表。這些處理器的目的是限度地減少響應(yīng) PWM 占空比變化的建立時(shí)間和殘余 PWM 紋波。在許多情況下，更簡(jiǎn)單的處理器（僅由一個(gè)由電阻器和電容器構(gòu)建的低通濾波器組成）表現(xiàn)良好（圖 1）。
用您獨(dú)特的設(shè)計(jì)讓工程界驚嘆不已： 設(shè)計(jì)創(chuàng)意提交指南

圖 1帶有低通濾波器的簡(jiǎn)單 PWM 處理器，該低通濾波器由電阻器和電容器構(gòu)成，該濾波器結(jié)構(gòu)只能實(shí)現(xiàn)實(shí)極點(diǎn)。

然而，關(guān)于如何為任意特性的PWM選擇濾波器元件值的討論很少，更不用說針對(duì)一種想法中提到的特定PWM（8位，1MHz時(shí)鐘）。在本文中，我將介紹一種針對(duì)任意周期 PWM 優(yōu)化這些更簡(jiǎn)單濾波器的方法。
讓我們從一些術(shù)語開始：我們將未過濾的 PWM 描述為具有 B 位、占空比 d、周期 T 和（無單位）輸出值 0 或 1。（警告：如果您只想解決問題并且不想體驗(yàn)推導(dǎo)的快感和數(shù)學(xué)的痛苦，請(qǐng)?zhí)帘疚哪┪驳摹皩?shí)施解決方案”部分。）
對(duì)于具有負(fù)、不等極點(diǎn) p1、p2 和 p3 的任何三階濾波器，單位階躍的時(shí)域響應(yīng)為：
如果兩個(gè)或三個(gè)極點(diǎn)相等，則響應(yīng)不同。對(duì)于三個(gè)，它是：

我們的興趣之一是穩(wěn)定到 1 的指定分?jǐn)?shù) F 所需的時(shí)間 (t s )（從 d = 0 到 1 的滿量程 PWM 轉(zhuǎn)換的壞情況）。處理幅度穩(wěn)定誤差 (ASE)，h(t, p1, p2, p3) = 1 – hh(t, p1, p2, p3)。ASE 在時(shí)間 t = 無窮大時(shí)完全穩(wěn)定（歸零）。我們可能會(huì)詢問 t s的值，使得 h(t s ,p1,p2,p3) = F = 2 -B-1或 PWM 的 ? LSB。當(dāng)然，如果應(yīng)用程序產(chǎn)生更小的占空比階躍，則可以做出其他選擇。
我們還對(duì)過濾后的 PWM 紋波的幅度感興趣。濾波器的頻率響應(yīng)為：

其中 j = (√-1)，ω 是以弧度/秒 (rad/sec) 為單位的頻率。
未濾波的 PWM 輸出可以表示為頻率為 1/T = ω PWM /(2π) Hz整數(shù)倍的無限多個(gè)正弦波的總和。當(dāng) d = 50% 且頻率為 ω PWM弧度/秒時(shí)，可產(chǎn)生的幅度正弦波具有 2/π 的峰值幅度。整個(gè) PWM 信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，該濾波器比個(gè)衰減更高的倍數(shù)。在這些條件下，相當(dāng)好的低通濾波器的輸出幾乎完全由 ω PWM的頻率組成。顯然，過多的紋波和過多的穩(wěn)定時(shí)間同樣會(huì)毀掉您的一天。所以我們想知道 ω PWM和 t s對(duì)于 ASE 和紋波幅度都等于 F 的濾波器，即它們滿足 H(ω PWM , p1, p2, p3) = π?HH(ω PWM , p1, p2, p3 )/2 = F 且 F = h(t s , p1, p2, p3)。當(dāng)然，我們還想找到對(duì)于給定的 F 值能為我們提供 t s和 ω PWM的濾波器。
讓我們首先看一下 PWM 的具體情況，其值為 T = 2 8 /1 MHz = .000256，其中 ω PWM = 2π/T = 24543。一個(gè)明顯的起點(diǎn)是等值電阻器和電容器的濾波器。對(duì)于圖 1 電路，頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)為：

將每個(gè) R 設(shè)置為 1 Ω，將每個(gè) C 設(shè)置為 1 F，多項(xiàng)式求根例程可用于確定滿足 H() = F = 2 -8-1 : -3.247, -1.555的三個(gè)極點(diǎn)和 ω 的值, -.1981 和 9.0699。為了在頻率 ω PWM下獲得相同的衰減，將極數(shù)相乘，電阻器除以 FSF = ω PWM /ω。當(dāng)然，至少可以說，這些電阻器和 1 F 電容器使用起來不方便。因此，我們可以選擇一個(gè)阻抗比例因子 ZSF，例如 10 -8乘以電容并劃分電阻。結(jié)果為 37.0k（選擇接近的標(biāo)準(zhǔn)值）和 10n。（應(yīng)用 ZSF 對(duì)濾波器的響應(yīng)沒有影響。）已知 1 Ω / 1 F 濾波器的極點(diǎn)并要求 h( ) = F，求根例程也為我們提供了 t s = 32.5 s 的值。將 t s除以 FSF 保持相同的 F 并導(dǎo)致 t s的值等于 12.01 ms。
當(dāng)然，沒有理由期望 R’s 和 C’s 相等會(huì)產(chǎn)生一個(gè)濾波器，在給定的 F 值下產(chǎn)生盡可能低的 t s和 ω PWM。我們應(yīng)該如何尋找更好的濾波器？我們使用蒙特卡洛。從上面極點(diǎn)的 FSF 縮放值開始，只有當(dāng)它減少 H( , , , ω PWM ) 或 h(, , , t s ) 的值而不增加另一個(gè)的值時(shí)，才會(huì)選擇一個(gè)新的、更好的極點(diǎn)集. 運(yùn)行了一個(gè) 1000 萬樣本的蒙特卡羅，其中包含一組隨機(jī)選擇的極點(diǎn)。結(jié)果是 -2290.7、-2238.9 和 -2218.6 處的極點(diǎn)，更好的紋波衰減 .001938 < F，以及大大改進(jìn)的 ASE 7.3834?10 -10. 顯然，的選擇是同極，有時(shí)也稱為同步極。不幸的是，不可能用圖 1 的網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同步極點(diǎn)。但是如果我們?cè)O(shè)置 R 3 = K?R 2 = K 2 ?R 1和 C 1 = K?C 2 = K^2C 3 ，我們可以接近，其中 K 是一個(gè)大于 1 的值。K越大越好。當(dāng)然，K 的值有明顯的實(shí)際限制，但讓我們看看 K 為 1、√10、10、100 和無窮大的情況。參見圖 2，它顯示了滿足“標(biāo)準(zhǔn)”的濾波器的時(shí)域響應(yīng)。

圖 2 ASE 顯示了各種濾波器類型的滿量程 PWM 轉(zhuǎn)換與時(shí)間的關(guān)系。水平線對(duì)應(yīng)于 2 -9的 ASE 。

水平虛線的值為 F = 2 -9。其他每條曲線對(duì)應(yīng)于 H( , , , ω PWM ) 也為 F 的濾波器的 ASE。曲線在濾波器的 ASE 降至 F 時(shí)與水平線相交。表現(xiàn)差的是紅色曲線，其中對(duì)于 K = 1，R 和 C 相等。對(duì)于 K = √10 和 10，黃色和綠色更好并且看起來實(shí)用，但是藍(lán)色 K = 100 濾波器需要 K 2 = 10000 的阻抗比。紫色 K = 無窮大曲線是無法實(shí)現(xiàn)的……或者是嗎？
圖 1 網(wǎng)絡(luò)的濾波器在驅(qū)動(dòng)阻性負(fù)載時(shí)會(huì)降低精度。簡(jiǎn)單的解決方案是在電壓跟隨器配置中使用運(yùn)算放大器緩沖它們的輸出。使用此運(yùn)算放大器還有另一大優(yōu)勢(shì)：圖 3中的濾波器配置擴(kuò)展了可實(shí)現(xiàn)的濾波器類型的數(shù)量，不僅包括等極點(diǎn)版本，還包括性能更好的濾波器——通過反復(fù)試驗(yàn)確定的復(fù)雜極點(diǎn)濾波器，從貝塞爾濾波器的極點(diǎn)開始?！案谩钡臉O點(diǎn)是：-.84668、-.786203+.725726?√-1 和 -.786203-.725726?√-1。該濾波器的 R 值可以縮放，使其衰減 H( , , , ) 在 ω PWM是 F?？s放濾波器的性能由黑色曲線反映。為什么奇怪的形狀？復(fù)數(shù)極點(diǎn)產(chǎn)生由阻尼振蕩組成的時(shí)間響應(yīng)。它在穩(wěn)定時(shí)反復(fù)通過零。圖中顯示的是響應(yīng)的。

圖 3可以實(shí)現(xiàn)實(shí)極點(diǎn)（部分或全部相同）和復(fù)極點(diǎn)的濾波器結(jié)構(gòu)圖像。對(duì)于顯示的組件值，表 1 的復(fù)數(shù)極部分的每個(gè)給定行中的參數(shù)值都得到滿足（見正文）。

您可能認(rèn)為這些圖顯示了復(fù)極點(diǎn)濾波器的先天優(yōu)勢(shì)。但它們僅代表 F = 2 -9滿足“標(biāo)準(zhǔn)”的情況。F 的其他值呢？其他值為 ω PWM的 PWM 又如何呢？這是一個(gè)答案。PWM 具有整數(shù)位數(shù)，因此僅當(dāng) N 是一組正整數(shù)時(shí)，才考慮 F = 2 -N的值才有意義。對(duì)于每個(gè) 2 -N和每個(gè)正在考慮的過濾器，我們可以確定滿足“標(biāo)準(zhǔn)”的 ω 和 t s的值。知道 ω 后，可以為任何所需的 PWM ω PWM計(jì)算 FSF ，F(xiàn)SF 也可以用于確定縮放 t s的值和過濾器 R’s。在具有 FSF 標(biāo)度極點(diǎn)的濾波器中，ω標(biāo)度= FSF?ω 和 t s-標(biāo)度= t s /FSF。因此，無論 PWM 頻率 ω PWM為何，ωPWM與 FSF 縮放的 t s的乘積將保持不變。這個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值越小越好。我們可以針對(duì)復(fù)數(shù)濾波器和同步濾波器比較這些產(chǎn)品，以確定哪個(gè)是每個(gè) F 值的更好選擇。請(qǐng)參閱表 1。

表 1對(duì)于各種 F = 2 -N值，復(fù)雜同步濾波器的ω、t s和 ω?t s的值。

比較表明，對(duì)于每個(gè) F，復(fù)濾波器具有更小的值乘積，是更好的選擇。我們現(xiàn)在可以概括濾波器設(shè)計(jì)過程。
實(shí)施解決方案
一個(gè)具體的例子將說明一般問題的解決方案。假設(shè)一個(gè) PWM，其中 B = 8 且 T = 2 B /1 MHz = .000256。我們想要 F = 2 -9的紋波電平和 ASE 。圖 3 顯示了表 1 中復(fù)雜濾波器的濾波器元件值。對(duì)于 N = 9，濾波器給出頻率 ω = 9.1868，對(duì)應(yīng) F 值。但我們希望衰減頻率為 ω PWM = 2π /T。我們需要將濾波器的電阻器和表的 t s = 6.3876 除以 FSF = ω PCM /ω = 2671.7。由此得出 R1 = 66.527 kΩ、R2 = 45.445 kΩ 和 R3 = 178.95 kΩ（您可以使用接近的標(biāo)準(zhǔn)值）和 t s= 2.39 毫秒。您也可以選擇通過恒定 ZSF 縮放這些電容器和電阻器，將電阻器乘以該值并將電容器除以該值。ZSF 操作對(duì)濾波器響應(yīng)沒有影響。
應(yīng)該注意的是，對(duì)于 N = 6 或更小的值，同步濾波器具有比復(fù)數(shù)濾波器更小、更好的 ω 值，并且對(duì)于更大的 N 值，ω 的值幾乎相同。盡管如此，復(fù)雜的過濾器仍然是更好的選擇；可以使用表中對(duì)之間的分母中的 ω 值計(jì)算 FSF。增大 ω 會(huì)增加紋波衰減和穩(wěn)定時(shí)間。總能找到一個(gè) FSF 值，它會(huì)導(dǎo)致 ω 和 t s的縮放濾波器值比其他濾波器提供的值更小。
為任意頻率的 PWM 設(shè)計(jì)濾波器
已經(jīng)提出了一種使用運(yùn)算放大器和三對(duì)電阻器和電容器的方法來設(shè)計(jì)用于任意頻率和位數(shù)的 PWM 的濾波器。該濾波器將 ASE 和峰值紋波限制為 F，即用戶選擇的負(fù)整數(shù) 2 的冪。研究了具有各種相互關(guān)系的極點(diǎn)的濾波器。所選的復(fù)極點(diǎn)濾波器在所考慮的濾波器中具有的頻率和穩(wěn)定時(shí)間乘積。使用表 1 和圖 3，對(duì)于任何頻率的 PWM，濾波器組件可以縮放到所需的 F 值?？梢詫?duì)表中列出的穩(wěn)定時(shí)間應(yīng)用相同的縮放比例，以計(jì)算縮放后的穩(wěn)定時(shí)間。
如果您更喜歡無運(yùn)算放大器的解決方案，您可能需要考慮圖 1 電路的 K = 10 版本。在 R1 = 4.3k 和 C1 = 100n 的情況下，對(duì)于 F = 2 -9，您在圖 2 中的綠色曲線中看到的 t s約為 4.6 ms。對(duì)于相同的 F，該濾波器的 ω 為 15787 弧度/秒。我尚未提供此濾波器的表格，但您可以在將不同的 FSF 應(yīng)用于濾波器電阻器時(shí)在電路模擬器中測(cè)試結(jié)果。