基于IEEE 754的浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)格式分析研究

0引言

IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，電子電氣工程師協(xié)會(huì)）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二進(jìn)制浮點(diǎn)運(yùn)算規(guī)范，是浮點(diǎn)運(yùn)算部件事實(shí)上的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。許多計(jì)算機(jī)用戶有機(jī)會(huì)在Intel x86和SPARC 或Power PC機(jī)之間交換二進(jìn)制數(shù)據(jù)，所以對(duì)照Intel x86和SPARC結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)表示及相關(guān)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，討論IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)格式的細(xì)節(jié)是有意義的。

本文對(duì)浮點(diǎn)數(shù)、IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)的表示方法、規(guī)格化處理等進(jìn)行了分析，重點(diǎn)分析、比較了Intel x86和SPARC結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)格式。

1 浮點(diǎn)數(shù)

在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的發(fā)展過(guò)程中，曾經(jīng)提出過(guò)多種方法表示實(shí)數(shù)，但是到目前為止使用最廣泛的是浮點(diǎn)表示法。相對(duì)于定點(diǎn)數(shù)而言，浮點(diǎn)數(shù)利用指數(shù)使小數(shù)點(diǎn)的位置可以根據(jù)需要而上下浮動(dòng)，從而可以靈活地表達(dá)更大范圍的實(shí)數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)表示法利用科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)表達(dá)實(shí)數(shù)。通常，將浮點(diǎn)數(shù)表示為 ± d.dd…d ×βe，其中d.dd… d 稱為有效數(shù)字（significand），它具有 p 個(gè)數(shù)字（稱p位有效數(shù)字精度），β為基數(shù)（Base），e為指數(shù)（Exponent），±表示實(shí)數(shù)的正負(fù)[1,2]。更精確地，± d0.d１d２…dp－1 × βe， 表示以下數(shù)

±（d0＋d1β－1＋… ＋dp－1β－（p－1））βe，（0≤di＜β）。

對(duì)實(shí)數(shù)的浮點(diǎn)表示僅作如上的規(guī)定是不夠的，因?yàn)橥粚?shí)數(shù)的浮點(diǎn)表示還不是唯一的。例如，1.0×102 ，0.1 ×103 ，和0.01 ×104 都可以表示100.0。為了達(dá)到表示單一性的目的，有必要對(duì)其作進(jìn)一步的規(guī)范。規(guī)定有效數(shù)字的最高位(即前導(dǎo)有效位)必須非零，即0＜d0＜β。符合該標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)稱為規(guī)格化數(shù)（Normalized Numbers），否則稱為非規(guī)格化數(shù)(Denormalized Numbers)。

2 IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)與其浮點(diǎn)格式 2.1 實(shí)數(shù)的IEEE 754表示形式

一個(gè)實(shí)數(shù)V在IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中可以用V＝(－1)s×M×2E 的形式表示[3,4]，說(shuō)明如下：

(1)符號(hào)s(sign)決定實(shí)數(shù)是正數(shù)(s＝0)還是負(fù)數(shù)(s＝1)，對(duì)數(shù)值0的符號(hào)位特殊處理。

(2)有效數(shù)字M（significand）是二進(jìn)制小數(shù)，M的取值范圍在1≤M＜2或0≤M＜1。

(3)指數(shù)E（exponent）是2的冪，它的作用是對(duì)浮點(diǎn)數(shù)加權(quán)。

2.2 浮點(diǎn)格式

浮點(diǎn)格式是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它規(guī)定了構(gòu)成浮點(diǎn)數(shù)的各個(gè)字段，這些字段的布局，及其算術(shù)解釋[2]。IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)位被劃分為3個(gè)字段，對(duì)以上參數(shù)值進(jìn)行編碼：

(1)一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)位s直接編碼符號(hào)s。

(2)k位的偏置指數(shù)e（e＝ek－1…e1e0）編碼指數(shù)E，移碼表示。

(3)n位的小數(shù)f(fraction)（f＝fn－1…f1f0）編碼有效數(shù)字M，原碼表示。

2.3 浮點(diǎn)數(shù)的分類

根據(jù)偏置指數(shù)e的值，被編碼的浮點(diǎn)數(shù)可分成三種類型。

(1)規(guī)格化數(shù)

當(dāng)有效數(shù)字M在范圍1≤M＜2中且指數(shù)e的位模式ek－1…e1e0既不全是0也不全是1時(shí)，浮點(diǎn)格式所表示的數(shù)都屬于規(guī)格化數(shù)。這種情況中小數(shù)f（0≤f＜1 ) 的二進(jìn)制表示為0. fn－1…f1f0。有效數(shù)字M＝1＋f，即M＝1. fn－1…f1f0 (其中小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的數(shù)值位稱為前導(dǎo)有效位) 。我們總是能調(diào)整指數(shù)E，使得有效數(shù)字M在范圍1≤M＜2中，這樣有效數(shù)字的前導(dǎo)有效位總是1，因此該位不需顯示表示出來(lái)，只需通過(guò)指數(shù)隱式給出。

需要特別指出的是指數(shù)E要加上一個(gè)偏置值Bias，轉(zhuǎn)換成無(wú)符號(hào)的偏置指數(shù)e，也就是說(shuō)指數(shù)E要以移碼的形式在存放計(jì)算機(jī)中。且e、E和Bias三者的對(duì)應(yīng)關(guān)系為e=E＋Bias，其中Bias=2k－1－1。

(2)非規(guī)格化數(shù)

當(dāng)指數(shù)e的位模式ek－1…e1e0全為零（即e＝0）時(shí)，浮點(diǎn)格式所表示的數(shù)是非規(guī)格化數(shù)。這種情況下，E=1－Bais，有效數(shù)字M=f=0. fn－1…f1f0 ，有效數(shù)字的前導(dǎo)有效位為0。

非規(guī)格化數(shù)的引入有兩個(gè)目的。其一是它提供了一種表示數(shù)值0的方法，其二是它可用來(lái)表示那些非常接近于0.0的數(shù)。

(3)特殊數(shù)

當(dāng)指數(shù)e的位模式ek－1…e1e0全為1時(shí)，小數(shù)f的位模式fn－1…f1f0全為0（即f=0）時(shí)，該浮點(diǎn)格式所表示的值表示無(wú)窮，s=0 時(shí)是＋∞，s=1時(shí)是－∞。

當(dāng)指數(shù)e的位模式ek－1…e1e0全為1時(shí)，小數(shù)f的位模式fn－1…f1f0不為0（fn－1、…、f1、f0、至少有一個(gè)非零即f≠0）時(shí)，該浮點(diǎn)格式所表示的值被稱為NaN（Not a Number）。比如當(dāng)計(jì)算 或∞－∞時(shí)用作返回值，或者用于表示未初始化的數(shù)據(jù)。

3 IEEE 754浮點(diǎn)存儲(chǔ)格式

與浮點(diǎn)格式對(duì)應(yīng)，浮點(diǎn)存儲(chǔ)格式規(guī)定了浮點(diǎn)格式在存儲(chǔ)器中如何存放。IEEE標(biāo)準(zhǔn)定義了這些浮點(diǎn)存儲(chǔ)格式，但具體選擇哪種存儲(chǔ)格式由實(shí)現(xiàn)工具（程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言）決定。

匯編語(yǔ)言軟件有時(shí)取決于所使用的存儲(chǔ)格式，但更高級(jí)的語(yǔ)言通常僅處理浮點(diǎn)數(shù)據(jù)類型的語(yǔ)言概念。這些浮點(diǎn)數(shù)據(jù)類型在不同高級(jí)語(yǔ)言中有不同的名字，相應(yīng)的IEEE格式如表1。

表1 IEEE 格式和語(yǔ)言類型

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)確地定義了單精度和雙精度浮點(diǎn)格式，并為這兩種基本格式的分別定義了擴(kuò)展格式，表1里擴(kuò)展雙精度格式是IEEE標(biāo)準(zhǔn)定義的擴(kuò)展雙精度類中的一種。

下面詳細(xì)討論在Intel x86和SPARC平臺(tái)上使用的三種IEEE浮點(diǎn)存儲(chǔ)格式。

3.1 單精度格式

IEEE單精度浮點(diǎn)格式共32位，包含三個(gè)構(gòu)成字段：23位小數(shù)f，8位偏置指數(shù)e，1位符號(hào)s。將這些字段連續(xù)存放在一個(gè)32位字里，并對(duì)其進(jìn)行編碼。其中0:22位包含23位的小數(shù)f； 23:30位包含8位指數(shù)e；第31位包含符號(hào)s。如圖1所示。

圖1 單精度存儲(chǔ)格式