如何搞定機(jī)器學(xué)習(xí)中的拉格朗日？看看這個乘子法與KKT條件大招

　　一 前置知識

　　拉格朗日乘子法是一種尋找多元函數(shù)在一組約束下的極值方法，通過引入拉格朗日乘子，可將有m個變量和n個約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為具有m+n個變量的無約束優(yōu)化問題。在介紹拉格朗日乘子法之前，先簡要的介紹一些前置知識,然后就拉格朗日乘子法談一下自己的理解。

　　1.梯度

　　梯度是一個與方向?qū)?shù)有關(guān)的概念，它是一個向量。在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則對于每一點(diǎn)P(x0,y0)∈D，都可以定義出一個向量:fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j ,稱該向量為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)

　　的梯度。并記作grad f(x0,y0) 或者?f(x0,y0),即 grad f(x0,y0) = ?f(x0,y0) = fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j=(fx(x0,y0),fy(x0,y0)) 。

　　再來看看梯度和方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果函數(shù)f(x,y)在P(x0,y0)點(diǎn)可微，el = (cosα,cosβ)是與方向L同向的單位向量，則?f/?L|(x0,y0) = fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ = grad f(x0,y0).el = |grad f(x0,y0)|.cosθ ，其中θ表示的梯度與el 的夾角。由此可知，當(dāng)θ = 0時,el 與梯度的方向相同時，此時方向?qū)?shù)最大，函數(shù)f(x,y)增長最快;當(dāng)θ = π時,el 與梯度的方向相反時，此時方向?qū)?shù)最小且為負(fù),函數(shù)f(x,y)減小最快。

　　2.等高線(等值線)

　　通常來說，二元函數(shù) z = f(x,y)在幾何上表示一個曲面，這個曲面被平面 z = c(c為常數(shù))所截得的曲線L的方程為:

　　這是一條空間曲線，這條曲線L在xOy平面上的投影是一條平面曲線L*，它在xOy平面直角坐標(biāo)系中的方程為：f(x,y) = c .對于曲線L*上的一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z = f(x,y)的等值線(等高線)。再來看看等高線的一些性質(zhì)：

　　若fx，fy不同時為零，則等高線 f(x,y) = c上任一點(diǎn)P(x0,y0)處的一個單位法向量為:

　　這表明函數(shù)f(x,y)在一點(diǎn)(x0,y0)的梯度?f(x0,y0)的方向就是等高線f(x,y) = c在這點(diǎn)的法向量的方向，而梯度的模|?f(x0,y0)|就是沿這個法線方向的方向?qū)?shù)?f/?n,于是有：

　　二 拉格朗日乘子法

　　1.等式約束

　　首先看一下什么是拉格朗日乘子法，已知一個問題：

　　要求f(x,y)在g(x,y)=c的前提下的最小值，我們可以構(gòu)造一個函數(shù)L(λ,x,y) = f(x,y) + λ(g(x,y) - c),其中λ(λ不等于0)稱為拉格朗日乘子，而函數(shù)L(λ,x)稱為拉格朗日函數(shù)。通過拉格朗日函數(shù)對各個變量求導(dǎo)，令其為零，可以求得候選值集合，然后驗(yàn)證求得最優(yōu)值。這就是拉格朗日乘子法。那么拉格朗日乘子法為什么是合理的?下面分別從幾何和代數(shù)兩方面解釋下自己對其的一些見解：

　　(1)從幾何的角度

　　先來看一幅圖：

　　圖中的虛線表示f(x,y)的等高線，如果滿足g(x,y)=c這個約束，必然是等高線與g(x,y)=c這條曲線的交點(diǎn);假設(shè)g(x)與等高線相交，交點(diǎn)就是同時滿足等式約束條件和目標(biāo)函數(shù)的可行域的值，但并不是最優(yōu)值，因?yàn)橄嘟灰馕吨隙ㄟ€存在其它的等高線在該條等高線的內(nèi)部或者外部，使得新的等高線與目標(biāo)函數(shù)的交點(diǎn)的值更大或者更小，只有到等高線與目標(biāo)函數(shù)的曲線相切的時候，才可能取得最優(yōu)值。假設(shè)該切點(diǎn)為P(x0,y0),則f(x,y)在p點(diǎn)的梯度必然垂直于其在該點(diǎn)處的等值線(前面已經(jīng)說過)，即梯度與該點(diǎn)出的法向量平行，又由于p點(diǎn)是曲線g(x,y)=c的切點(diǎn)，可以看做g(x,y)=c在p點(diǎn)處的梯度平行于它在該點(diǎn)的等值線的法向量，故f(x)在p點(diǎn)的梯度與g(x,y)=c在p點(diǎn)的梯度共線(因?yàn)樗麄冊趐點(diǎn)處的法向量是共線的)，即(fx(x0,y0),fy(x0,y0)) = λ*(gx(x0,y0),gy(x0,y0))。所以最優(yōu)值必須滿足：?f(x,y) = λ* ?(g(x)-c)，λ是常數(shù)且不等于0，表示左右兩邊平行。這個等式就是L(λ,x)對參數(shù)分別求偏導(dǎo)的結(jié)果,即: 

　　也就是說滿足?f(x,y) = λ* ?(g(x)-c)的點(diǎn)必然是式子min L(λ,x) = f(x,y) + λ(g(x,y) - c)的解，所以min L(λ,x) = f(x,y) + λ(g(x,y) - c)這個式子與原問題是等價(jià)的(可以先簡單的認(rèn)為g(x,y) - c = 0造成的)。

　　(2)從代數(shù)的角度

　　先來看一下z = f(x,y)在條件g(x,y) = c下取得極值的必要條件。

　　如果z=f(x,y)在(x0.y0)處取得所求的極值，那么有 g(x0,y0) = c,假定在(x0,y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)f(x,y)與g(x,y) = c均有一階段連續(xù)偏導(dǎo)(對于凸函數(shù)很顯然是成立的)并且gy(x0,y0)≠0.由隱函數(shù)的存在定理可知方程g(x,y)=c能夠確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)y = μ(x),將其帶入z= f(x,y)中可以得到一個變量x的函數(shù)：z = f[x,μ(x)].

　　于是z=f(x,y)在x=x0處取得極值，相當(dāng)于z = f[x,μ(x)]在x=x0處取得極值，又由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件可知：

　　而又由y = μ(x)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有

　　將以上兩式結(jié)合可得，

　　上式與g(x0,y0)=c 就是函數(shù)z=f(x,y)在g(x,y)=c的條件下取得極值的必要條件。如果令：

　　上述的必要條件就變?yōu)?/p>

　　同從幾何角度推出的結(jié)論一致。

　　綜上所述，對于問題

　　(x可以為一個矢量，也可以為一個標(biāo)量)

　　等價(jià)于求

　　對于拉格朗日乘子法求出的候選值，需要注意驗(yàn)證;如果目標(biāo)函數(shù)f(x)是凸函數(shù)的話則可以保證得到的解一定是最優(yōu)解。

　　三 KKT條件

　　1.關(guān)于不等式約束

　　上述問題中講述的都是約束條件為等式的情況，對于約束條件為不等式的情況，通常引入KKT條件(在不等式約束下，函數(shù)求極值的必要條件)來解決，具體如下：

　　對于問題

　　我們也引入拉格朗日函數(shù)

　　其中μj≥0。

　　再看一個關(guān)于x的函數(shù)：

　　而實(shí)際上F(x)可以看做是f(x)的另一種表達(dá)形式;由于hi(x)=0，所以拉格朗日函數(shù)中的第二項(xiàng)為0;又由于gj(x) ≤ 0且μj ≥ 0,所以μjgj(X) ≤ 0，所以只有μjgj(X) = 0時L取到最大值;因此F(x)在滿足約束條件時就是f(x)。由此，目標(biāo)函數(shù)可以表述為如下的形式： 

　　我們稱這個式子為原問題。并定義原問題的最優(yōu)值為P*。

　　然后再看關(guān)于λ和μ的一個式子：

　　考慮該式子的極大化：

　　我們稱這個式子為原問題的對偶問題。并定義對偶問題的最優(yōu)值為d*。

　　(關(guān)于拉格朗日的對偶性，可參考李航《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》中的附錄部分，或者參考博客：http://blog.pluskid.org/?p=702)

　　關(guān)于對偶性問題，通常分為弱對偶性和強(qiáng)對偶性：

　　(1)考慮到原問題和對偶問題的最優(yōu)值P*和d*，如果d* ≤ P*，則稱“弱對偶性”成立。

　　(2)如果d* = P*，則稱“強(qiáng)對偶性”成立。

　　通常情況下，強(qiáng)對偶性并不成立;但是當(dāng)原問題和對偶問題滿足以下條件時，則滿足強(qiáng)對偶性。

　　(1)f(x)和gj(x)是凸函數(shù)。

　　(2)hi(x)是仿射函數(shù)。

　　(3)不等式約束gj(x)是嚴(yán)格可行的，即存在x，對所有j有g(shù)j(x) < 0 。

　　以上三個條件也稱為Slater條件。如果滿足Slater條件，即原問題和對偶問題滿足強(qiáng)對偶性，則x*和λ*、μ*分別為原問題和對偶問題的最優(yōu)解的充要條件是x0和λ0、μ0滿足下面的條件:

　　以上五個條件就是所謂的Karush-Kuhn-Tucher(KKT)條件。下面是關(guān)于這幾個條件的簡單闡述：

　　對于第一個條件，由于原問題和對偶問題滿足強(qiáng)對偶性，所以

　　即關(guān)于x的函數(shù)：

　　在x*處取到了極值，由費(fèi)馬引理可知，該函數(shù)在x*處的偏導(dǎo)數(shù)為0，即：

　　也就是條件(1)。該式子說明f(x)在極值點(diǎn)x*處的梯度是各個hi(x*)和gj(x*)的線性組合。

　　對于第二個條件，時在定義拉格朗日函數(shù)時的約束條件。

　　對于第三個條件，在定義F(x)時就已經(jīng)體現(xiàn)了，由于：

　　因?yàn)棣蘪gj(x)≤0，要使得L最大，只有μjgj(x) = 0時滿足。所以產(chǎn)生了第三個條件。

　　對于第四、五個條件，是原問題的自帶的約束條件。

　　當(dāng)原問題和對偶問題不滿足強(qiáng)對偶性時，KKT條件是使一組解成為最優(yōu)解的必要條件，即在不等式約束下，函數(shù)求極值的必要條件?？梢园袺KT條件看成是拉格朗日乘子法的泛化。