傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略

　　傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯(lián)系?他們的本質(zhì)和區(qū)別是什么?為什么要進(jìn)行這些變換。研究的都是什么?從幾方面討論下。

　　這三種變換都非常重要!任何理工學(xué)科都不可避免需要這些變換。

　　傅立葉變換，拉普拉斯變換，Z變換的意義

　　【傅里葉變換】在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用(例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量)。

　　傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)(正弦和/或余弦函數(shù))或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

　　傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個連續(xù)的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。

　　我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進(jìn)行分割，每一部分只是一個時間點對應(yīng)一個信號值，一個信號是一組這樣 的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周 期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號，那么給定一組周期值(或頻率值)，我們就可以畫出其對應(yīng)的曲線，就像給出時域上每一點的 信號值一樣，不過如果信號是周期的話 ，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數(shù)值。

　　傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式;逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。

　　對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義?頻域的相位與時域的相位有關(guān)系嗎?信號前一段的相位(頻域)與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系。

　　傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數(shù)的正弦波(或者余弦波)信號。也就是說，用無數(shù)的正弦波采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性(見信號流程 圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖)、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動過程(見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法)，以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置(見控制系統(tǒng)校正方法)提供了可能性。

　　【拉普拉斯變換】工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。

　　拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域(s域)上來表示;在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應(yīng)用。

　　【Z變換】在數(shù)字信號處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應(yīng)用中，我們往往只需要分析信號或系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，也即是說通常只需要進(jìn)行傅里葉變換即可。

　　那么，為什么還要引進(jìn)Z變換呢?

　　【三者關(guān)系】

　　Z變換和傅里葉變換之間有存在什么樣的關(guān)系呢?傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的信號，分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、 頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界，頻率是 有明確的物理意義的，比如說聲音信號，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因為男聲中低頻分量更多;女同胞多高亢清脆，這主要是因為女聲中高頻分量更多。對一個 信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應(yīng)的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢?因為有的信號主要在時域表現(xiàn)其特性，如 電容充放電的過程;而有的信號則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機(jī)械的振動，人類的語音等。若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時域信號看起來可能雜亂無 章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當(dāng)我們采集到一段信號之后，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時域無所發(fā)現(xiàn)的 話，很自然地將信號轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。正因為 如此，在通常的信號與系統(tǒng)的分析過程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。

　　既然人們只關(guān)心信號的頻域表示，那么Z變換又是怎么回事呢?要說到Z變換，可能還要先追溯到拉普拉斯變換。

　　拉普拉斯變換是以法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯命名的一種 變換方法，主要是針對連續(xù)信號的分析。拉普拉斯和傅里葉都是同時代的人，他們所處的時代在法國是處于拿破侖時代，國力鼎盛。在科學(xué)上也取代英國成為當(dāng)時世 界的中心，在當(dāng)時眾多的科學(xué)大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關(guān)于信號可以分解為正弦信號疊加的論文，其評審人即 包括拉普拉斯和拉格朗日。

　　回到正題，傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內(nèi)絕對可積的信號才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯 變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數(shù)信號exp(-x)是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數(shù)信號之后，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信 號乘上指數(shù)信號之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，在18世紀(jì)計算機(jī)還遠(yuǎn)未發(fā)明的時候， 意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號為exp(0)。也即是說拉普拉斯變換是傅里葉變換 的推廣，是一種更普遍的表達(dá)形式。在進(jìn)行信號與系統(tǒng)的分析過程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結(jié)果，然后再得到傅里葉變換這種特殊的結(jié)果。這種由 普遍到特殊的解決辦法，已經(jīng)證明在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中能夠帶來很大的方便。

　　Z變換可以說是針對離散信號和系統(tǒng)的拉普拉斯變換，由此我們就很容易理解Z變換的重要性，也很容易理解Z變換和傅里葉變換之間的關(guān)系。Z變換中的Z平面與 拉普拉斯中的S平面存在映射的關(guān)系，z=exp(Ts)。在Z變換中，單位圓上的結(jié)果即對應(yīng)離散時間傅里葉變換的結(jié)果。