給"小白"圖示講解OFDM的原理

　　遵循古老的傳統(tǒng)，F(xiàn)表示頻域，f表示時域，所以可以從公式1-2中看出，每個子載波上面調(diào)制的幅度，就是頻域信息。類似的說法是：OFDM傳輸?shù)氖穷l域信號。這種說法有些別扭，但是很多教程或文章會使用這樣的說明方式，就看讀者如何理解了。如果純粹從公式或者子載波來看，這種說法其實也是很直接的闡述了。

　　上面1.1-1.3的擴展，可如下圖所示：

　　圖七：時域上的OFDM系統(tǒng)圖

　　1.4

　　還有這一步嗎?其實是有的。"小白"你可以先想想，想不到的話先往下看，因為這需要在頻域中考量，所以我寫在后面了?！疽部蓞⒖糩1]】

　　將上述的時域分析配上LTE的實現(xiàn)，有如下情況：

　　【注1：本段描述需要有LTE物理層的基本知識，如果看不明白，請暫時跳過，看完整篇文章后再回看】

　　【注2：LTE并非時域的實現(xiàn)，下面僅僅是套用LTE的參數(shù)，做一個參考分析】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM

　　symbol的發(fā)送時間是66.7us，可以發(fā)現(xiàn)，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個OFDM

　　symbol的發(fā)送時間正好發(fā)送一個一次諧波的完整波形。對于10M的LTE系統(tǒng)，采用的是1024個子載波，但是只有中間600個(不含最中間的直流)子載波被用于傳送數(shù)據(jù)。在一個OFDM

　　symbol的時間內(nèi)(即66.67us)，靠近中間的兩個一次諧波傳輸一個完整波形，再靠外一點的兩個二次諧波傳輸兩個完整波形，以此類推至最外面的兩個300次諧波傳輸了300個完整的波形。在這66.67us內(nèi)，600個子載波互相正交，其上分別承載了600個復(fù)數(shù)信號。

　　上面的說法有點啰嗦，不如圖示來得直觀。本來準(zhǔn)備再畫一圖的，不過一來上面已經(jīng)有了類似的圖，實是大同小異;二來，600個子載波，也太多了點。。。

　　OK，說到這里，從時域上面來看OFDM，其實是相當(dāng)簡潔明快討人喜歡的。不過，一個系統(tǒng)若要從時域上來實現(xiàn)OFDM，難度太大，時延和頻偏都會嚴(yán)重破壞子載波的正交性，從而影響系統(tǒng)性能。這點在各種教材文章中都會有提及，我就不贅述了。

　　下面將轉(zhuǎn)入頻域來描述OFDM，由于頻域不甚直觀，的確會稍稍讓人費解。不過只要時刻想著時域子載波間的疊加，一切都會好起來。

　　章節(jié)二：頻域上的OFDM

　　第一章節(jié)時域上的討論開始于OFDM中的"O";本章節(jié)頻域上我們從"FDM"開始。

　　先圖例一個常規(guī)FDM的系統(tǒng)圖：

　　圖11：常規(guī)FDM，兩路信號頻譜之間有間隔，互相不干擾

　　為了更好的利用系統(tǒng)帶寬，子載波的間距可以盡量靠近些。

　　圖12：靠得很近的FDM，實際中考慮到硬件實現(xiàn)，解調(diào)第一路信號時，已經(jīng)很難完全去除第二路信號的影響了(電路的實現(xiàn)畢竟不能像剪刀裁紙一樣利落)，兩路信號互相之間可能已經(jīng)產(chǎn)生干擾了

　　還能再近些嗎?可以的。這就是OFDM的來歷啊，近到完全等同于奈奎斯特帶寬(后面有詳述)，使頻帶的利用率達(dá)到了理論上的最大值。

　　圖13：繼續(xù)靠近，間隔頻率互相正交，因此頻譜雖然有重疊，但是仍然是沒有互相干擾的。神奇的OFDM

　　上面三個圖的確有點小兒科，不知道"小白"是不是已經(jīng)在心里吶喊：這誰不知道呀!不過我在這里花時間畫了三張圖，總還是有所考量的：

　　a.

　　作為上一個章節(jié)和本章節(jié)之間的補充和連接，說明一下OFDM在頻域上面的表現(xiàn)，亦即OFDM的本源來歷。

　　b. 引導(dǎo)思考：信號的帶寬是多少?

　　c.

　　引導(dǎo)思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢?結(jié)合1.4，先想想，再往下看，會更好。

　　再次回到正軌，請回看第一節(jié)中的圖一至圖六等時域波形圖，圖示了在時域上，波形的調(diào)制，疊加接收，以及最終的解碼。讓我們看看圖一至圖三中的每個步驟在頻域上是如何表現(xiàn)的。

　　首先來看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且說說sin(t)的頻譜是啥呀?"小白"弱弱的說：是一個沖激。是的，sin(t)是個單一的正弦波，代表著單一的頻率，所以其頻譜自然是一個沖激。不過其實圖一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之內(nèi)的一小段。無限長度的信號被限制在一小截時間之內(nèi)，【就好比從一個完整的人身上逮下一根頭發(fā)，然后把整個人都丟掉，以發(fā)代人】其頻譜也不再是一個沖激了。

　　對限制在[0,2π]內(nèi)的sin(t)信號，相當(dāng)于無限長的sin(t)信號乘以一個[0,2π]上的門信號(矩形脈沖)，其頻譜為兩者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜為沖激，門信號的頻譜為sinc信號(即sin(x)/x信號)。沖激信號卷積sinc信號，相當(dāng)于對sinc信號的搬移。所以分析到這里，可以得出圖一的時域波形其對應(yīng)的頻譜如下：

　　圖21：限定在[0,2π]內(nèi)的a·sin(t)信號的頻譜，即以sin(t)為載波的調(diào)制信號的頻譜

　　sin(2t)的頻譜分析基本相同。需要注意的是，由于正交區(qū)間為[0,2π]，因此sin(2t)在相同的時間內(nèi)發(fā)送了兩個完整波形。相同的門函數(shù)保證了兩個函數(shù)的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：

　　圖22：限定在[0,2π]內(nèi)的b·sin(2t)信號的頻譜，即以sin(2t)為載波的調(diào)制信號的頻譜

　　將sin(t)和sin(2t)所傳信號的頻譜疊加在一起，如下：

　　圖23：a·sin(t)+b·sin(2t)信號的頻譜

　　圖23和圖13，均是頻域上兩個正交子載波的頻譜圖。比一下，發(fā)現(xiàn)了嗎?不太一樣!

　　是的，想必你已經(jīng)想起來了，這是因為基帶信號在傳輸前，一般會通過脈沖成型濾波器的結(jié)果。比如使用"升余弦滾降濾波器"后，圖23所示的信號就會被修理成圖13所示的信號了。這樣可以有效的限制帶寬外部的信號，在保證本路信號沒有碼間串?dāng)_的情況下，既能最大限度的利用帶寬，又能減少子載波間的各路信號的相互干擾。這也是1.4中沒有提及的，更多的可參考[1]

　　貼士：脈沖成型濾波器作用于頻域，可以"看作"時域中的每個碼元都是以類似sinc信號發(fā)出的。沒必要糾結(jié)于發(fā)送端碼元的時域波形，只需要知道在接收端通過合適的采樣就可以無失真的恢復(fù)信號就OK咯。

　　這里用到的是奈奎斯特第一準(zhǔn)則，在下面的框框內(nèi)會稍作描述：

　　奈奎斯特第一準(zhǔn)則請自行g(shù)oogle，這里說說其推論：碼元速率為1/T(即每個碼元的傳輸時長為T)，進(jìn)行無碼間串?dāng)_傳輸時，所需的最小帶寬稱為奈奎斯特帶寬。

　　對于理想低通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/(2T)

　　對于理想帶通信道，奈奎斯特帶寬W =1/T

　　在下面的圖31中，可以看出信號的實際帶寬B是要大于奈奎斯特帶寬W(低通的1/(2T)或者帶通的1/T)的，這就是理想和現(xiàn)實的距離。

　　補充說明：本文提到的"帶寬"，也即約定俗成的帶寬理解方式，指的是信號頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過程中，因為將原信號負(fù)頻率部分也移出來了(也可理解為同乘e(j2πfct)

　　+ e(-j2πfct)的結(jié)果，見參考[2])【注：沒有上角標(biāo)和下角標(biāo)的編輯器，真不爽。不過，你應(yīng)該看得懂的】，所以帶寬翻倍了。如下圖所示：

　　圖31：內(nèi)涵豐富的圖，請參看上面和下面的說明文字

　　上面專門用框框列出奈奎斯特第一準(zhǔn)則，還有一個重要目的就是說明下頻帶利用率的問題。頻帶利用率是碼元速率1/T和帶寬B(或者W)的比值。

　　理想情況下，低通信道頻帶利用率為2Baud/Hz;帶通信道頻帶利用率同樣為2Baud/Hz(負(fù)頻率移出來后，和正頻率一樣可以獨立攜帶信號)

　　實際情況下，因為實際帶寬B要大于奈奎斯特帶寬W，所以實際FDM系統(tǒng)的頻帶利用率會低于理想情況。

　　【說到這里，終于可以圖窮匕見了】而OFDM的子載波間隔最低能達(dá)到奈奎斯特帶寬，也就是說(在不考慮最旁邊的兩個子載波情況下)，OFDM達(dá)到了理想信道的頻帶利用率。

　　圖32：OFDM正交子載波，載頻間距為奈奎斯特帶寬，保證了最大的頻帶利用率

　　將上述的頻域分析配上LTE的實現(xiàn)，有如下情況：

　　【注：本段描述需要有LTE物理層的基本知識】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM

　　symbol的發(fā)送時間是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子幀共傳輸14個OFDM symbol【不是15個，留空給CP了】，每一個OFDM

　　symbol攜帶600個復(fù)數(shù)信息，因此：

　　1. 從整個系統(tǒng)來看，波特率為600*14*2/1ms =

　　16.8MBaud，占據(jù)帶寬10MHz，因此帶寬利用率為16.8MBaud/10MHz =

　　1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情況?！咀ⅲ阂皇荂P占用了每個OFDM

　　Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶并不是滿打滿算的用于傳輸數(shù)據(jù)，其邊界頻帶需要留空以減少與鄰近信道的干擾】

　　2.

　　單從OFDM一個symbol來看，波特率為600*2/66.7us =

　　18MBaud，占據(jù)帶寬600*15kHz=9MHz【不考慮邊界子載波帶外問題】，因此其帶寬利用率為18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。

　　附：5M帶寬的WCDMA的chip

　　rate = 3.84M/s，即碼率為3.84M*2 = 7.68MBaud，帶寬5M，所以帶寬利用率為7.68MBaud/5MHz =

　　1.536Baud/Hz，略遜于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈沖成型采用滾降系數(shù)為0.22的升余弦濾波器，奈奎斯特帶寬為3.84M】

　　章節(jié)三：用IFFT實現(xiàn)OFDM

　　其實前兩章，我已經(jīng)將自己的理解盡數(shù)表達(dá)了：第一節(jié)是從時域上來說子載波正交的原理;第二節(jié)是從頻域上來解釋子載波正交后，達(dá)到理想頻帶利用率的特性。想來，雖然前兩章寫得較長【沒預(yù)料到會寫這么長的...太長了沒人看...】，但是應(yīng)該還是很簡單、清晰、易懂的。

　　不過"小白"的卡殼，似乎并不在于最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各種時域頻域角色變換讓其眼花繚亂。

　　個人覺得要理解IFFT實現(xiàn)OFDM，最好的辦法還是看公式。比如第一章節(jié)中的公式1-1和公式1-2，配上時域波形圖的疊加，不要太好理解喲。當(dāng)然，這里的IFFT需要將時域離散化，因此公式

IFFT≈ IDFT -->

　　fn =1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n為時域離散后的序號，N為總的IFFT個數(shù)，n∈[1,N]】

　　關(guān)于公式3-1的理解方法，可以是這樣的。其中一種理解方式是聯(lián)系第一章節(jié)的公式1-2：可以發(fā)現(xiàn)公式3-1等號右側(cè)所表達(dá)的物理意義和公式1-2是相同的，均代表了不同子載波e(j·2π·k·n/N)發(fā)送各自的信號Fk，然后在時域上的疊加形成fn，只不過現(xiàn)在疊加出來的時域不是連續(xù)波形，而是離散的時序抽樣點。

　　另一種更容易，更可愛的理解方式是：在一個OFDM

　　symbol的時長T內(nèi)，用N個子載波各自發(fā)送一個信號F(k)(k∈[1,N])，等效于直接在時域上連續(xù)發(fā)送fn(n∈[1,N])N個信號，每個信號發(fā)送T/N的時長。

　　在IFFT實現(xiàn)OFDM中，發(fā)送端添加了IFFT模塊、接收端添加了FFT模塊。IFFT模塊的功能相當(dāng)于說：別麻煩發(fā)送N個子載波信號了，我直接算出你們在空中會疊加成啥樣子吧;FFT模塊的功能相當(dāng)于說：別用老式的積分方法來去除其余的正交子載波了，我?guī)湍阋淮伟袾個攜帶信號全算出來吧。就是這樣，IFFT實現(xiàn)OFDM的系統(tǒng)用"數(shù)學(xué)的方法"，在發(fā)送端計算信號的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡化了系統(tǒng)的復(fù)雜度。

　　圖八：用IFFT實現(xiàn)OFDM。請自行對比圖七

　　最后說一句："小白"乃"白富美"之"白"，非"一窮二白"之"白"也。

　　好吧，該結(jié)束了。再寫得長了更沒人看了。

　　補充章節(jié)：從頻譜上來看正交性

　　本文最開始發(fā)表時是沒有這一段的，因為原文已然十分自恰，已將OFDM的原理說的非常清楚到位了。然而，這一段的內(nèi)容卻是別的文章中講解OFDM時經(jīng)常出現(xiàn)的橋段，因此覺得還是有必要補充陳述一下自己的觀點。

　　【注：本小節(jié)為補充章節(jié)，與本文邏輯沒有必然聯(lián)系，可直接略過?！?/p>

　　從正文章節(jié)中，可以發(fā)現(xiàn)作者的思路：從時域角度講解子載波的正交性;從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。作者覺得這是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、網(wǎng)絡(luò)上，還有一種非常主流的講解方式：從頻域上“直觀的”看待子載波的正交性。比如下面這個圖：

　　圖51：從OFDM頻譜看待正交性(本圖來自網(wǎng)絡(luò)，比我畫的圖好些，還有文字說明)

　　這種觀點的說法是：在每個子載波的抽樣點上，其它的子載波信號抽樣值均為0(即上圖中的subcarrier

　　Nulls對應(yīng)某個子載波的Subcarrier

　　Peak)。這種說法在圖示上有非常醒目的直觀效果，所以是各教材講義中的?？?，但是至少從作者的角度來看，這種說法在涉及到后面的解調(diào)信號時，將變得非常難以理解和說明。所以本文最開始的版本中是沒打算寫本小節(jié)的。

　　如果你看到這里，覺得這種說**中下懷，那么恭喜你。

　　如果你看到這里，覺得這種說法已經(jīng)讓你的腦袋成了漿糊，那么可以回顧第一章節(jié)：時域上的正交性，然后繼續(xù)閱讀下面部分以解毒。

　　時域上的正交性和頻域上的正交性之間的關(guān)系該如何聯(lián)系起來呢?回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區(qū)間[0,2π]上的積分為0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}在區(qū)間[0,

　　1/Δf]上正交(注：教材上一般寫為u(t)在[-T/2,T/2]區(qū)間上怎么怎么著，本文就用不著那么學(xué)術(shù)了)?？梢钥闯觯@里有一個關(guān)鍵的參數(shù)Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時域上的信號傳輸時間?；仡檿r域頻域轉(zhuǎn)換圖：

　　圖52：同前面的圖21，時域波形和頻域的轉(zhuǎn)換

　　聯(lián)系上圖的時頻轉(zhuǎn)換，可以發(fā)現(xiàn)Δf既確定了子載波本身(即上圖中第一排的兩個圖)，又確定了待發(fā)信號的傳輸時間(即上圖中第二排的兩個圖中信號的寬度)，從而決定了信號頻譜的主瓣寬度以及旁瓣為0的位置。這也意味著，OFDM系統(tǒng)中一旦選定了子載波間隔，時域上的正交性以及頻域上的正交性也就順理成章的聯(lián)系起來了。如下圖：

　　圖53：同前面的圖23，兩路信號的間隔Δf，保證了時域上的正交性、確定了頻域上的旁瓣0點位置

　　其實對本作者而言，從頻譜上來看待OFDM的正交性有點顛倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現(xiàn)“其余子載波攜帶信號的旁瓣0點處于當(dāng)前子載波攜帶信號主瓣峰值處”的現(xiàn)象是果。以果推因，謬矣。