非周期信號的傅里葉變換

前面已討論了周期非正弦信號的傅里葉級數(shù)展開，下面來分析非周期信號的傅里葉變換。當(dāng)周期信號的重復(fù)周期T無限增大時(shí)，周期信號就轉(zhuǎn)化為非周期信號（單個(gè)不重復(fù)信號），如對于周期矩形脈沖波，當(dāng)周期T趨于無窮大時(shí)，周期信號就轉(zhuǎn)化為單個(gè)非周期脈沖。從例6-1-2的結(jié)果可知，此時(shí)信號頻譜間隔趨于零，即譜線從離散轉(zhuǎn)向連續(xù)，而其振幅值則趨于零，信號中各分量都變?yōu)闊o窮小。盡管各頻率分量從絕對值來看都趨于無窮小，但其相對大小卻是不相同的。為區(qū)別這種相對大小，在周期T趨于無窮大時(shí)，求的極限，并定義此極限值為非周期函數(shù)的頻譜函數(shù)，即：

當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化為，即離散的頻譜轉(zhuǎn)為連續(xù)頻譜，上式可改為：

（6-4-1）

對于一個(gè)非周期信號，可由上式求出其頻譜函數(shù)，同理若已知非周期信號頻譜函數(shù)，則也可求出其時(shí)域表達(dá)式。其計(jì)算式為：

（6-4-2）

式（6-4-1）與式（6-4-2）是一對傅里葉積分變換式，式6-4-1把時(shí)域信號轉(zhuǎn)換為頻域的頻譜函數(shù)信號，稱為傅里葉正變換。而式6-4-2是把頻域信號變換為時(shí)域信號，稱為傅里葉逆變換。進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)需滿足狄里赫里條件和絕對可積條件。

例6-4-1 求圖6-4-1a所示的單個(gè)矩形波的頻譜函數(shù)，并作振幅頻譜與相位頻譜圖。

圖 6-4-1

解：單個(gè)矩形波的頻譜函數(shù)為：

它的幅度頻譜與相位頻譜如圖6-4-1b、c所示。

從振幅頻譜圖上可見，矩形脈沖信號所包含的頻率分量隨頻率增大而很快減小，信號主要成份集中于之間，即頻率寬度為。如果脈沖寬度變窄，即值變小，則信號主要頻率分量所占的頻率范圍就變大。反之當(dāng)脈沖變寬，值變大，則其主要頻率分量范圍就變小。對于一個(gè)較窄的脈沖信號，如果電路要使它通過，則電路的特性必須能使較大頻率范圍的所有信號都能通過。傅里葉變換在信號分析與處理中有重要意義。