頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

前面我們從代數(shù)角度出發(fā)討論了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義和勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)介紹判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種判據(jù)――奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。該判據(jù)是根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)，它還能反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定的程度，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，判據(jù)與勞斯穩(wěn)定判據(jù)一樣，還能確切回答閉環(huán)系統(tǒng)有多少個(gè)不穩(wěn)定的特征根。

對(duì)于圖5－34所示的反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(5-38)

其特征方程式為

(5-39)

令

(5-40)

將式（5－40）代入式（5－39）得

式中， 、 、…、 是 的零點(diǎn)，也是閉環(huán)特征方程式的根； 、 、…、 是 的極點(diǎn)，也是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。因此根據(jù)前述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù) 的全部零點(diǎn)都必須位于s平面的左半平面上。

5.4.1 輻角原理

由于 是s的有理分式，則由復(fù)變函數(shù)的理論知道， 除了在s平面上的有限個(gè)奇點(diǎn)外，它總是解析的，即為單值、連續(xù)的正則函數(shù)。因而對(duì)于s平面上的每一點(diǎn)，在 平面上必有唯一的一個(gè)映射點(diǎn)與之相對(duì)應(yīng)。同理，對(duì)s平面上任意一條不通過(guò) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)的閉合曲線 ，在 平面上必有唯一的一條閉合曲線 與之相對(duì)應(yīng)，如圖5－35所示。若s平面上的閉合曲線 按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則其在 平面上的映射曲線 的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針，也可能是逆時(shí)針，它完全取決于復(fù)變函數(shù) 本身的特性。在此我們感興趣的不是映射曲線 的具體形狀，而是它是否包圍 平面的坐標(biāo)原點(diǎn)以及圍繞原點(diǎn)的方向和圈數(shù)，因?yàn)樗c系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系。

圖5－35　s平面上封閉曲線及其在F(s)平面上的映射線

由式（5-41）可知，復(fù)變函數(shù) 的相角為

(5-42)

假設(shè)s平面上的閉合曲線