電路基礎(chǔ)系列：交流電路篇-5復(fù)數(shù)和相量

電氣工程中使用的數(shù)學(xué)加電阻,電流或直流電壓使用所謂的“實(shí)數(shù)”作為整數(shù)或分?jǐn)?shù)。

但實(shí)際并不是唯一的號碼我們需要使用尤其是在處理頻率依賴正弦來源和向量。 以及使用正?；?qū)崝?shù),復(fù)數(shù)介紹了允許復(fù)雜的方程式解決數(shù)字是負(fù)數(shù)的平方根,√1。

電氣工程這種類型的數(shù)量被稱為一個“虛數(shù)”和區(qū)分一個實(shí)數(shù)的虛數(shù)字母“j“已知通常在電氣工程j-operator,使用。 因此,字母“j”是放置在前一個實(shí)數(shù)表示虛數(shù)的操作。

虛數(shù)的例子有：j3 ,j12 ,j100等等，然后復(fù)數(shù)由兩個不同但又非常相關(guān)的部分組成，一個“實(shí)數(shù)”加上一個“虛數(shù)”。

復(fù)數(shù)代表點(diǎn)在二維復(fù)雜或s平面所引用的兩個不同的軸。 水平軸叫做“實(shí)軸”,而縱軸稱為“虛軸”。 一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的再保險(z)和Im (z),分別。

復(fù)數(shù)是由真實(shí)的(活性成分)和想象的(無功部分)數(shù)字可以添加,減去,以完全相同的方式使用初等代數(shù)用于分析直流回路。

數(shù)學(xué)中使用的規(guī)則和法律的加法或減法虛數(shù)是一樣的實(shí)數(shù),衛(wèi)星j2 +閣下=等。唯一的區(qū)別是乘法,因?yàn)閮蓚€虛數(shù)相乘變成負(fù)的實(shí)數(shù)。 實(shí)數(shù)也可以被認(rèn)為是一個復(fù)數(shù),但零虛部j?標(biāo)簽。

的j-operator有一個值相等嗎√1,所以連續(xù)乘法” j ”,(j x)將導(dǎo)致j有以下值,1, - j和+ 1。 隨著j-operator通常用來表示矢量的逆時針旋轉(zhuǎn),每一次乘法或的力量” j ”,j2j3等,將迫使矢量旋轉(zhuǎn)90通過一個固定的角度o在一個逆時針方向如下所示。 同樣的,如果在一個向量的乘法運(yùn)算結(jié)果- j運(yùn)營商相移將達(dá)到-90o,即順時針旋轉(zhuǎn)。

通過乘以一個虛數(shù)j2將旋轉(zhuǎn)向量180o逆時針方向,乘以j3旋轉(zhuǎn)它270o并通過j4旋轉(zhuǎn)它360o還是回到原來的位置。 乘法的j10或通過j30將導(dǎo)致適量向量逆時針旋轉(zhuǎn)。 在每個連續(xù)旋轉(zhuǎn),矢量的大小總是保持不變。

在電氣工程有不同的方式來表示一個復(fù)數(shù)圖形或數(shù)學(xué)。 這樣的一個方式,利用余弦和正弦規(guī)則被稱為笛卡兒或矩形形式。

在過去的教程相量代表,我們看到一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的普遍形式:

• 地點(diǎn):

• Z——表示向量的復(fù)數(shù)

• x——是真正的部分或活性成分

• y虛部或活性成分

• j——定義為√1

在矩形形式,一個復(fù)數(shù)可以表示成一個點(diǎn)在一個二維的平面稱為復(fù)雜的或s平面。 舉個例子,Z = 6 +閣下代表一個點(diǎn)的坐標(biāo)代表6水平實(shí)軸和4縱虛軸如圖所示。

但作為一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的矩形形式可以是正數(shù)或負(fù)數(shù),那么真實(shí)與虛軸必須也在積極和消極兩個方向延伸。 這產(chǎn)生一個復(fù)雜的飛機(jī)有四個象限稱為根圖如下所示。

根圖,橫軸代表所有正實(shí)數(shù)的右邊垂直虛軸和所有負(fù)實(shí)數(shù)左邊的垂直虛軸。 一切積極虛數(shù)高于水平軸表示盡管所有消極的虛數(shù)低于水平實(shí)軸。 這就產(chǎn)生一個二維復(fù)平面有四個不同的象限貼上標(biāo)簽,氣, QII, QIII,QIV。

上面的根圖也可以用來代表一個旋轉(zhuǎn)相量在復(fù)平面的點(diǎn)半徑的大小是由相量將為每一個周圍畫一個完整的循環(huán)2π/ω秒。

然后我們可以進(jìn)一步擴(kuò)展這個想法給的定義一個復(fù)數(shù)在極地和矩形形式旋轉(zhuǎn)90o。

復(fù)數(shù)也可以有“零”實(shí)部或虛部如:Z = 6 + j?或Z = 0 +閣下。 在這種情況下,點(diǎn)直接繪制到真實(shí)的或假想的軸。 一個復(fù)數(shù)的角度也可以使用簡單的三角函數(shù)計算計算直角三角形的角度,或測量逆時針繞著根圖從正實(shí)軸。

然后角度0到90之間o將在第一象限(我)、角(θ90年和180年之間)o在第二象限(2)。 第三象限(3)包含角在180年和270年之間o而第四個也是最后一個象限(4),完成完整的圓,包括270年和360年之間的角度o等等。 在所有的四個象限相關(guān)的角度可以發(fā)現(xiàn):

棕褐色-1(虛構(gòu)的組件÷真正的組件)

復(fù)數(shù)的加法或減法可以做數(shù)學(xué)或矩形形式的圖形。 之外,真正的部分首先加在一起形成真正的總和的一部分,然后虛部形成的虛部和和使用兩個復(fù)數(shù)這一過程如下一個和B作為例子。

兩個向量定義為,一個= 4 + j - 1和B: = 2 + j3分別。 確定兩個向量的總和和差異在兩個矩形(+ jb)形式和圖形作為根圖。

除了

減法

的復(fù)數(shù)乘法矩形形式服從或多或少相同的規(guī)則對于正常代數(shù)以及一些額外的規(guī)則的連續(xù)乘法j-operator地點(diǎn):j2= 1。 舉個例子,我們一起從上面兩個向量相乘一個= 4 + j - 1和B: = 2 + j3將給我們下面的結(jié)果。

數(shù)學(xué)上,分工的復(fù)數(shù)矩形形式更難以執(zhí)行,因?yàn)樗枰褂梅帜腹曹椇瘮?shù)分母方程轉(zhuǎn)化為一個實(shí)數(shù)。 這就是所謂的“合理化”。 然后分工的復(fù)數(shù)是最好使用“極坐標(biāo)形式”,稍后我們將看看。 然而,例如矩形形式讓發(fā)現(xiàn)的價值向量一個除以向量B。

的復(fù)共軛,或者只是共軛找到一個復(fù)數(shù)的扭轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)符號虛數(shù)只有在保持實(shí)數(shù)的代數(shù)符號相同的和確定的復(fù)共軛z符號z使用。 例如,的共軛z = 6 +閣下是z= 6 -閣下,同樣的共軛z = 6 -閣下是z= 6 +閣下。

為共軛復(fù)數(shù)根圖上的點(diǎn)有相同的水平位置與原始復(fù)數(shù)實(shí)軸,但相反的垂直位置。 因此,復(fù)雜的軛合物可以被認(rèn)為是一個復(fù)數(shù)的反映。 下面的示例顯示了一個復(fù)數(shù),6 +閣下和其在復(fù)平面的共軛。

復(fù)數(shù)及其復(fù)共軛的總和永遠(yuǎn)是一個實(shí)數(shù)正如我們所看到的。 然后添加一個復(fù)數(shù)及其共軛給結(jié)果作為實(shí)數(shù)或活性成分,而他們的減法了虛數(shù)或活性成分。 的共軛復(fù)數(shù)用于電氣工程是一個重要的元素的視在功率來確定交流電路使用矩形形式。

與情節(jié)點(diǎn)在復(fù)平面矩形形式,極坐標(biāo)形式復(fù)數(shù)的寫的大小和角度。 因此,提出了極坐標(biāo)形式向量為:Z =一個∠±θ,地點(diǎn):Z是極性的復(fù)數(shù)形式,一個向量的模和級嗎θ其角或論點(diǎn)的嗎一個這可以是積極的還是消極的。 點(diǎn)的大小和角度仍然一樣上面的長方形形式中,這次是在極坐標(biāo)形式表示點(diǎn)的位置在一個“三角形式”,如下所示。

作為一個點(diǎn)的極坐標(biāo)表示法是基于三角形式,我們可以用簡單的三角形的幾何和特別是三角學(xué)和畢達(dá)哥拉斯定理在三角形發(fā)現(xiàn)大小和角度的復(fù)數(shù)。 當(dāng)我們記得從學(xué)校,三角函數(shù)處理雙方之間的關(guān)系和三角形的角度我們可以描述雙方之間的關(guān)系為:

再次使用三角,角θ的一個給出如下。

然后在極坐標(biāo)形式的長度一個和它的角代表復(fù)數(shù)而不是一個點(diǎn)。 同樣在極坐標(biāo)形式,共軛復(fù)數(shù)具有相同的大小或模角的符號,變化,例如共軛6∠30o將6∠- 30o。

在矩形形式我們可以表達(dá)一個向量的直角坐標(biāo)系中,橫軸是實(shí)軸,縱軸是虛軸或j分量。 在極坐標(biāo)形式這些真實(shí)和虛構(gòu)的軸是由“一個∠θ”。 然后使用上面的例子中,矩形形式和極坐標(biāo)形式之間的關(guān)系可以被定義為。

我們也可以從矩形形式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式如下。

矩形形式最適合加減復(fù)數(shù)以上我們看到,但是極坐標(biāo)形式通常是更好的乘法、除法。 一起用兩個向量在極坐標(biāo)形式,我們必須首先把兩個模量或他們的角度大小,然后添加在一起。

乘在一起6∠30o和8∠- 45o在極坐標(biāo)形式給我們。

同樣地,一起把兩個向量在極坐標(biāo)形式,我們必須把兩個模量,然后減去他們的角度如圖所示。

幸運(yùn)的是今天的現(xiàn)代科學(xué)計算器建立數(shù)學(xué)函數(shù)(檢查你的書),允許簡單的矩形轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式,(R→P)和從極性矩形形式,(R→P)。

到目前為止,我們已經(jīng)考慮復(fù)雜的數(shù)字矩形形式,(+ jb)和極坐標(biāo)形式,(一個∠±θ)。 但也有三分之一表示復(fù)數(shù)方法相似的極坐標(biāo)形式對應(yīng)的長度(大小)和相位角正弦信號但使用自然對數(shù)的基礎(chǔ),e281 = 2.718 . .復(fù)數(shù)的價值。 第三個方法被調(diào)用指數(shù)形式。

的指數(shù)形式使用的三角函數(shù)sin (罪)和余弦(因?yàn)?一個直角三角形定義的值的復(fù)指數(shù)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)復(fù)雜的飛機(jī)。 指數(shù)形式的發(fā)現(xiàn)基于點(diǎn)的位置歐拉的身份命名瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和給出:

然后歐拉恒等式可以表示為以下復(fù)平面旋轉(zhuǎn)相量圖。

我們可以看到,歐拉身份非常類似于上面的極坐標(biāo)形式,它告訴我們,等一個e jθ1級的也是一個復(fù)數(shù)。 我們不僅可以復(fù)數(shù)的指數(shù)形式很容易轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式如:2e j30= 2∠30, 10e j120= 120∠或6e j9090 = 6∠,但歐拉身份也給了我們一種復(fù)數(shù)的指數(shù)形式轉(zhuǎn)換成矩形。 之間的關(guān)系指數(shù),極地、矩形定義一個復(fù)數(shù)形式給出。

到目前為止,我們已經(jīng)看到不同的方式來表示一個旋轉(zhuǎn)向量或一個固定使用復(fù)數(shù)向量定義在復(fù)平面上一個點(diǎn)。 相量表示法是一個過程,構(gòu)建一個復(fù)數(shù)振幅和相位角的正弦波形。

然后相量表示法或相量變換,有時被稱為轉(zhuǎn)移正弦函數(shù)的實(shí)部:一個(t)=一個mcos(ωt±Φ)從時域到復(fù)數(shù)域也稱為頻域。 例如:

請注意√2將最大振幅轉(zhuǎn)換成一個有效的或均方根值和相角的弧度,(ω)。

然后總結(jié)本教程復(fù)數(shù)在電氣工程和復(fù)數(shù)的使用。

• 復(fù)雜的數(shù)字由兩個不同的數(shù)字,一個實(shí)數(shù)+虛數(shù)。

• 虛數(shù)是區(qū)分一個實(shí)數(shù)j-operator的使用。

• 數(shù)字與字母”j在確定了它作為一個在復(fù)平面虛數(shù)。

• 根據(jù)定義,j-operatorj≡√1

• 可以添加虛數(shù),減去,增加和分裂一樣的實(shí)數(shù)。

• ”的乘法j“通過”j“讓j2= 1

• 在長方形的復(fù)數(shù)形式是由一個點(diǎn)在復(fù)平面上的空間。

• 在極坐標(biāo)形式復(fù)雜的數(shù)字是由一條線的長度是振幅和相位角。

• 指數(shù)形式的復(fù)數(shù)是由一條線和相應(yīng)的角度,使用基本的自然對數(shù)。

• 一個復(fù)數(shù)可以在三種方式之一:Z = x +司法院?矩形形式Z =一個∠Φ?極坐標(biāo)形式Z =一個e jΦ?指數(shù)形式

• 歐拉恒等式可以用于復(fù)數(shù)的指數(shù)形式轉(zhuǎn)換成矩形形式。

在前面的教程包括這個我們已經(jīng)看到,我們可以使用相量表示正弦波形和振幅和相位角可以用復(fù)數(shù)的形式寫的。 我們也看到了這一點(diǎn)復(fù)數(shù)可以在矩形,極地或指數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換每個復(fù)數(shù)代數(shù)形式包括加法、減法、乘法和除法。

在接下來的幾個教程與AC系列電路的相量關(guān)系,我們將看看一些常見的被動電路元件的阻抗和畫出相量圖的電流通過組件和在它開始交流電阻的電壓。

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