為芯片奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的那些大神們都是誰(shuí)？

來(lái)源：歪睿老哥 

作者：申墨

01

萊布尼茨的二進(jìn)制和八卦

在你看本文的這一刻，手機(jī)處理器中，正有千萬(wàn)門級(jí)別或者億門的MOS管在關(guān)閉和打開(kāi)，來(lái)實(shí)現(xiàn)不同的與，或，非的運(yùn)算。

這一切數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都要從數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的原理來(lái)說(shuō)起。

人類從呱呱墜地開(kāi)始，耳濡目染最開(kāi)始就是十進(jìn)制，小朋友也很容易接受，并可以很快掌握十進(jìn)制的加減法。

十進(jìn)制非常通俗易懂，它成為了人類最早的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

世界上不同的文明都出現(xiàn)了類似十進(jìn)制的描述，例如幾千年前的蘇美爾楔形文字，漢字，后來(lái)的阿拉伯?dāng)?shù)字都有十進(jìn)制的描述

這個(gè)不奇怪，因?yàn)槿祟愡M(jìn)化了十根手指頭，用手指頭來(lái)數(shù)數(shù)再自然而不過(guò)了。

但是，有人覺(jué)得十進(jìn)制并不完美。

1701年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨法國(guó)科學(xué)院提交并宣讀了他題為《數(shù)學(xué)科學(xué)新論》的研究論文。

在這篇文章中，他提出了用0和1兩個(gè)數(shù)表示全部數(shù)字的方法。

如上表所示，每個(gè)數(shù)字都可以表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制數(shù)中只有0和1，沒(méi)有其他符號(hào)。

魯?shù)婪颉W古斯特公爵研究萊布尼茨的二進(jìn)制數(shù)學(xué)后認(rèn)為二進(jìn)制數(shù)學(xué)符合《圣經(jīng)·創(chuàng)世紀(jì)》中的記載，是“上帝的算法”。因?yàn)樘?jiǎn)潔了，符合上帝從無(wú)到有創(chuàng)建世界的描述。

奧古斯特公爵很喜歡，但是科學(xué)院卻把這篇論文給拒了。

當(dāng)時(shí)的法國(guó)科學(xué)院院長(zhǎng)單內(nèi)認(rèn)為，看不出這篇論文有什么用處。

論文有什么用？

解決了什么重大問(wèn)題？

有什么實(shí)際的價(jià)值？

這個(gè)思路就一直存在于審稿人的腦海里面，幾百年未曾改變。

那么有個(gè)問(wèn)題擺在萊布尼茨的面前，二進(jìn)制有什么用？

作為我們300多年后的我們，對(duì)于二進(jìn)制的作用是非常清楚的。但是在當(dāng)時(shí)給二進(jìn)制找個(gè)應(yīng)用的確是個(gè)難題。

但是萊布尼茨作為大數(shù)學(xué)家，大哲學(xué)家。十七世紀(jì)的亞里士多德。可以和牛頓爭(zhēng)奪微積分發(fā)明權(quán)的大佬，肯定不會(huì)被這個(gè)小問(wèn)題難住。

但是用了兩年時(shí)間，直到1703年萊布尼茨收到白晉所寄的伏羲八卦圖，才發(fā)現(xiàn)自己的二進(jìn)制體系與伏羲八卦圖的一致性。

白晉是法國(guó)神父，曾經(jīng)擔(dān)任康熙皇帝的數(shù)學(xué)老師，1697年奉康熙之名回法國(guó)招募人才，并與萊布尼茨相識(shí)，多次書(shū)信來(lái)往，白晉由此給萊布尼茨介紹了中國(guó)的易經(jīng)和八卦。

于是，萊布尼茨補(bǔ)充了本項(xiàng)研究意義，并發(fā)表在法國(guó)皇家科學(xué)院院刊上。

標(biāo)題是《二進(jìn)制算術(shù)闡述-僅僅使用數(shù)字0和1兼論其效能及伏羲數(shù)字的意義》。

萊布尼茨大神，打算用二進(jìn)制來(lái)描述中國(guó)的八卦。

對(duì)于卦象來(lái)說(shuō)，一根長(zhǎng)線代表陽(yáng)爻（陽(yáng)），兩根短線代表陰爻（陰）。

也就是陰陽(yáng)。

易經(jīng)說(shuō)：道生一，無(wú)極變太極；一生二，太極變兩儀；二生三，兩儀變四象；三生萬(wàn)物，四象旋轉(zhuǎn)，世界誕生。八卦，正如其名，是對(duì)宇宙后續(xù)變化的推演。

從伏羲八卦中找到二進(jìn)制的意義，這個(gè)不是什么戲說(shuō)。

很多學(xué)者論述了，萊布尼茨不是根據(jù)八卦而發(fā)明二進(jìn)制，而是發(fā)明了二進(jìn)制才遇到了伏羲八卦，因此本文采用這個(gè)說(shuō)法，而不牽強(qiáng)附會(huì)中國(guó)的八卦給了萊布尼茨發(fā)明二進(jìn)制的靈感。

對(duì)于萊布尼茨這個(gè)大數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，二進(jìn)制只是其很小的數(shù)學(xué)成就，但是卻是當(dāng)今信息時(shí)代存在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

我們這個(gè)信息時(shí)代都是建立在二進(jìn)制上的，在這一點(diǎn)上，萊布尼茨居功至偉。

但是，僅僅有二進(jìn)制是不夠的。

02

布爾運(yùn)算的真和假

萊布尼茨發(fā)明了二進(jìn)制。此時(shí)的二進(jìn)制還只能像十進(jìn)制那樣運(yùn)算，加減乘除。

就是換個(gè)方式來(lái)運(yùn)算，沒(méi)有什么稀奇。

而喬治·布爾則帶了一種運(yùn)算，那就是布爾代數(shù)。

喬治·布爾，1815年出生在英格蘭的林肯，少時(shí)家貧，但敏而好學(xué)，自學(xué)成才，全部的志向都放在數(shù)學(xué)上。

1847年，布爾出版了《邏輯的數(shù)學(xué)分析，論演繹推理的演算法》。

從此在數(shù)學(xué)界名氣大震，并且從“編外人員”到有了正式的教職。

1854年，他又出版了《思維規(guī)律的研究，作為邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)》，其中完滿地討論了這個(gè)主題并奠定了所謂的數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)。為這一學(xué)科的發(fā)展鋪平了道路。

布爾代數(shù)講述內(nèi)容很多，但其最典型的就是兩種值和三種運(yùn)算。

布爾在整個(gè)計(jì)算中，定義兩種值，也就是真和假。1（true），0（false）。

三種基本運(yùn)算，就是與（AND），或（OR），非（NOT）。

與或非也可以用符號(hào)表示：   &   |    ！  三種符號(hào)表示。

與就是兩個(gè)值都為真才為真。

或就是兩個(gè)值有一個(gè)為真就為真。

真的非就是假，假的非就是真。

這個(gè)就是兩種值，三種運(yùn)算的含義。

有點(diǎn)哲學(xué)的意思。

布爾通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：所有的數(shù)字算數(shù)運(yùn)算，都可以用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)成為 0和1的與或非操作。

例如：加法a+b

進(jìn)位就是a&b，而加完后0位是（a&！b）|（b&！a）

也就是可以用與、或、非來(lái)表示加減。

 二進(jìn)制配合布爾代數(shù)，能夠表示所有的數(shù)學(xué)運(yùn)算。

1864年，布爾去世。但是他發(fā)明的這些計(jì)算方式，將在100年后得到應(yīng)用，成為計(jì)算機(jī)體系中的基本運(yùn)算。

用與、或、非的運(yùn)算來(lái)等價(jià)表示加減乘除的運(yùn)算，這個(gè)就是布爾留給后世的財(cái)富。

03

香農(nóng)：碩士論文和開(kāi)關(guān)電路

克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)是美國(guó)數(shù)學(xué)家，也是信息論的創(chuàng)始人。

但是，在成為信息論奠基者之前，學(xué)生時(shí)代的他就發(fā)表了一篇?jiǎng)潟r(shí)代的論文。

1936年，正在讀碩士的香農(nóng)發(fā)表了著名論文《繼電器和開(kāi)關(guān)電路的符號(hào)分析》。

在當(dāng)時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)開(kāi)關(guān)電路的技術(shù)方案就是繼電器。

通過(guò)磁體通斷打開(kāi)或者關(guān)閉。

如果繼電器打開(kāi)，電流帶來(lái)磁場(chǎng)，繼電器合上，電路閉合。

如果繼電器關(guān)閉，磁場(chǎng)消失，繼電器關(guān)閉，電路斷開(kāi)。

這個(gè)開(kāi)關(guān)電路給了香農(nóng)靈感，配合布爾代數(shù)。

香農(nóng)給出了布爾代數(shù)一種物理實(shí)現(xiàn)方式。

串聯(lián)的開(kāi)關(guān)電路就是布爾運(yùn)算的與操作，兩個(gè)開(kāi)關(guān)a和b都關(guān)閉，燈才能亮。

這個(gè)電路就是a&b

而并聯(lián)的開(kāi)關(guān)電路就是布爾運(yùn)算的或操作。兩個(gè)開(kāi)關(guān)有一個(gè)關(guān)閉，燈就會(huì)亮。

這個(gè)電路就是a|b

是不是看起來(lái)簡(jiǎn)單極了。

還沒(méi)有碩士畢業(yè)的香農(nóng)，奠定了現(xiàn)在數(shù)字電路的基礎(chǔ)。

布爾計(jì)算可以將任何運(yùn)算化簡(jiǎn)為與、或、非。

所以不斷重復(fù)這兩種電路，就可以通過(guò)電路實(shí)現(xiàn)任意運(yùn)算。

此時(shí)，從萊布尼茨提出了二進(jìn)制，已經(jīng)過(guò)去了兩百多年，離布爾發(fā)表布爾運(yùn)算也過(guò)去接近100年。

 終于，香農(nóng)說(shuō)，你們的數(shù)學(xué)表達(dá)，我可以用物理電路來(lái)實(shí)現(xiàn)了。

這個(gè)就是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基石。

哈佛大學(xué)的霍華德·加德納（Howard Gardner）教授評(píng)價(jià)：“這可能是本世紀(jì)最重要、最著名的一篇碩士論文。”

04

晶體管和集成電路

1947年，美國(guó)物理學(xué)家肖克利、巴丁和布拉頓三人合作發(fā)明了晶體管。

晶體管的誕生，替代了原來(lái)的繼電器，電子管等設(shè)備。

成為了整個(gè)信息時(shí)代的基礎(chǔ)。

在晶體管發(fā)明十年后的1958年，34歲的基爾比加入德州儀器公司。然后有了把多個(gè)晶體管放到一起的想法。于是，集成電路誕生了。

又過(guò)了十二年，1970年，第一個(gè)CPU，英特爾4004誕生了。

這些基礎(chǔ)都變成如下MOS管的開(kāi)關(guān)電路，下圖就是一個(gè)開(kāi)關(guān)電路（gate）。通過(guò)控制柵極電壓，實(shí)現(xiàn)Source和Drain的通斷

時(shí)至今日，芯片的集成度不斷的增加。

最新的CPU，GPU，手機(jī)處理器等等, 其晶體管的數(shù)量都已經(jīng)超過(guò)百億級(jí)別。

但是，其內(nèi)部運(yùn)行的數(shù)學(xué)邏輯，仍然是萊布尼茨提出的二進(jìn)制，布爾發(fā)明的布爾計(jì)算，和香農(nóng)描述的開(kāi)關(guān)電路。

一直沒(méi)有改變！