軟件仿真頻率細(xì)化過(guò)程分析

１ 頻率細(xì)化過(guò)程介紹

頻率細(xì)化是在信號(hào)處理和模態(tài)分析中廣泛應(yīng)用的一種技術(shù),它能夠提高頻率的分辨率,將選定的頻率域上的特性曲線放大,從而使系統(tǒng)的頻率特性能更清楚地顯示出來(lái),如圖１所示。



設(shè)系統(tǒng)的采樣頻率為fs,采樣點(diǎn)數(shù)為NO,則頻率分辨率為：

Δf=fs/NO

從上式可以看出,要進(jìn)行頻率細(xì)化,即提高頻率分辨率,使Δf變小,有兩種方法：增加采樣點(diǎn)數(shù)NO和降低采樣頻率fs,這里只介紹降低采樣頻率的方法。

這種方法主要是基于移頻原理,如圖2所示。



設(shè)想要移頻部分的頻率為fp,其角頻率為wp=2πfp,令f （t）=exp（-jwpt）。時(shí)域信號(hào)x（t）與f（t）卷積后,則在頻域上,該信號(hào)的fp頻率就移到了原點(diǎn)處。

信號(hào)頻率移到低頻后,經(jīng)過(guò)低通濾波,就可以用低的采樣頻率進(jìn)行采樣,從而達(dá)到提高頻率分辨率、頻率細(xì)化的目的。具體過(guò)程如圖3所示。



2 移頻法頻率細(xì)化過(guò)程中幾個(gè)問(wèn)題的分析

（1） 非細(xì)化處理的系統(tǒng)采樣頻率為fs,采樣點(diǎn)數(shù)為NO。對(duì)于細(xì)化過(guò)程,設(shè)頻率細(xì)化倍數(shù)為Nr,信號(hào)經(jīng)過(guò)抗混疊濾波器后進(jìn)行A/D采樣,采樣頻率應(yīng)仍為原來(lái)的 fs,保持不變,采樣點(diǎn)數(shù)則為Nr*NO,這樣就保證了細(xì)化與非細(xì)化處理的基本頻帶范圍保持不變,并且可以細(xì)化這一頻帶中的任何一段。



（2）要細(xì)化的頻率范圍為fl～fu,移頻后,低頻點(diǎn)fl移到原點(diǎn),則高頻點(diǎn)變?yōu)椋╢u-fl）。這時(shí)數(shù)字低通濾波器的截止頻率應(yīng)大于（fu-fl）,并小于低頻重采樣頻率fs/Nr的一半。即截止頻率的范圍為：

（fu-fl）＜fc＜fs/2Nr

且可以得到最大細(xì)化倍數(shù)Ｎ與細(xì)化頻率范圍之間的關(guān)系為：

Nr＜fs/2（fu-fl）　

這為設(shè)置細(xì)化倍數(shù)范圍提供了依據(jù)。



（3）數(shù)字低通濾波器的通帶必須平,通帶內(nèi)波動(dòng)要小,這樣原信號(hào)的頻率特性細(xì)化后在幅值上才不會(huì)改變;同時(shí),最好使濾波器的帶外衰減＞-70dB,且-70dB處的頻率＜fs／2Nr,這樣就能保證低頻重新采樣時(shí)抗混疊的效果最好,細(xì)化的效果也最好。

（4） 細(xì)化與不細(xì)化過(guò)程占用時(shí)間的比較：由于采樣點(diǎn)數(shù)NO保持不變,因此細(xì)化處理的FFT時(shí)間與不細(xì)化的FFT時(shí)間一樣,都是NOLog（NO）/2;細(xì)化過(guò)程 要進(jìn)行Nr*NO點(diǎn)的高頻采樣和NO點(diǎn)的低頻采樣,而不細(xì)化過(guò)程只進(jìn)行NO點(diǎn)的高頻采樣,所以在采樣時(shí)間上,細(xì)化過(guò)程要稍長(zhǎng)一點(diǎn)。但它與NO點(diǎn)的FFT變 換時(shí)間比起來(lái)可以不計(jì),因此,細(xì)化處理與不細(xì)化處理在時(shí)間上差不多。



（5） 移頻法頻率細(xì)化與增加采樣點(diǎn)數(shù)頻率細(xì)化的比較：移頻法頻率細(xì)化只進(jìn)行NO個(gè)點(diǎn)的FFT變換,和一些數(shù)組、矩陣的運(yùn)算,它所花的時(shí)間約 為：NOLog（NO）/2;而采用增加采樣點(diǎn)數(shù)頻率細(xì)化要進(jìn)行Nr*NO個(gè)點(diǎn)的FFT變換,它所花的時(shí)間約為：（Nr*NO）Log（Nr*No） /2,因此采用移頻法頻率細(xì)化的時(shí)間要短得多,這是它的優(yōu)點(diǎn),也是工程應(yīng)用中多采用這種方法的原因,我們也只對(duì)它進(jìn)行仿真。

由于移頻使fl前面的頻段移到頻域的負(fù)軸上,而低通濾波又濾掉了fu后面的高頻部分,因此,這種方法只能進(jìn)行一段頻率的細(xì)化,不能進(jìn)行全頻段的細(xì)化,這是移頻法頻率細(xì)化的缺點(diǎn)。要進(jìn)行全頻段細(xì)化,可以采用增加采樣點(diǎn)數(shù)的方法。



３ 用MATLAB仿真頻率細(xì)化過(guò)程

用MATLAB程序仿真圖3這個(gè)過(guò)程,主要實(shí)現(xiàn)A/D采樣、移頻、低通濾波、低頻重新采樣、FFT變換等,同時(shí)注意上面幾個(gè)問(wèn)題的分析。

總 信號(hào)由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四個(gè)不同頻率、不同幅值的正余弦信號(hào)合成。采樣點(diǎn)為512,采樣頻率為5120Hz,則頻率分辨率 為10Hz,這在頻域內(nèi)分辨不出這四個(gè)信號(hào)。仿真軟件在300～320Hz范圍內(nèi)細(xì)化10倍,則這時(shí)頻率分辨率為1Hz,就可以逐漸看清楚這四個(gè)信號(hào)。



x（t）=sin（2*302）+2cos（2π*304）+3sin（2π*306）＋4sin（２π*308）

細(xì)化處理需要5120個(gè)采樣點(diǎn),仿真時(shí)A/D采樣用對(duì)連續(xù)信號(hào)x（t）　進(jìn)行離散化來(lái)代替,離散化的點(diǎn)值就是采樣值,它們組成一個(gè)數(shù)組（矩陣）,這是一個(gè)點(diǎn)序列。

采樣完成后,對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行移頻仿真（將300Hz移頻到原點(diǎn)）,由以下步驟實(shí)現(xiàn)：

令：F1=300W1=２π*F1

f（t）=exp（-jw1*t）　

ｔ取離散化時(shí)刻,Δt=1/fsTk=k*Δt

則f（t）離散化可變?yōu)椋?br />
f（k）=exp（-jw1*Tk）

=exp[（-j2π*f1*k）/fs]

這也是一個(gè)點(diǎn)序列。

MATLAB將上面兩個(gè)點(diǎn)序列進(jìn)行卷積（矩陣相乘）,得到一個(gè)新的點(diǎn)序列,就實(shí)現(xiàn)了移頻過(guò)程,即使F1=300Hz 在頻域上移動(dòng)了0,其它頻率特性依此前移。

MATLAB語(yǔ)言有很方便的濾波器設(shè)計(jì)和數(shù)字濾波功能,可用它設(shè)計(jì)一個(gè)帶內(nèi)波動(dòng)＜0.1dB,帶外衰減＞-70dB,截止頻率為20Hz的低通濾波器,并將上面的點(diǎn)序列進(jìn)行數(shù)字濾波,得到一個(gè)只在0～20Hz頻段上有特性曲線、其它頻段被濾掉的信號(hào)的點(diǎn)序列。

對(duì)上面的點(diǎn)序列每隔10點(diǎn)（細(xì)化倍數(shù)）進(jìn)行抽取,實(shí)際上就是對(duì)經(jīng)移頻、濾波后的信號(hào)進(jìn)行重新采樣。采樣頻率為S120Hz/10,即采樣頻率降低了10倍,抽取得到512個(gè)點(diǎn)。



對(duì)這512個(gè)點(diǎn)進(jìn)行FFT變換,就可以得到300Hz～320Hz頻段上已細(xì)化10倍的頻率特性曲線了,結(jié)果如圖4、圖8所示。

用仿真程序分別進(jìn)行2、4、8、10倍的頻率細(xì)化,從運(yùn)行結(jié)果可以看出,細(xì)化倍數(shù)越大,頻率分辨率就越高,頻域波形越看得清楚,這與理論是相符合的。