任意噪聲和約束下的最佳數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

　　摘 要：為提高數(shù)字譜儀的能量分辨率，利用約束最優(yōu)化方法提出了一個(gè)在任意平穩(wěn)噪聲背景下直接設(shè)計(jì)最佳數(shù)字有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器的方法。該方法易于附加任意時(shí)域和頻域約束(平頂、基線恢復(fù)等)。詳細(xì)給出了最佳濾波器的設(shè)計(jì)推導(dǎo)過程，并在設(shè)計(jì)實(shí)例基礎(chǔ)上，分析了濾波器的時(shí)域、頻域響應(yīng)和不同約束條件下的最大信噪比曲線。結(jié)果證明，該方法能夠有效去除基線漂移和彈道虧損，得到了約束條件下的最大信噪比，適合在未知系統(tǒng)噪聲特性情況下的高計(jì)數(shù)率、高精度譜儀中使用。

　　關(guān)鍵調(diào)：最佳濾波器；數(shù)字譜儀；基線恢復(fù)

　　在數(shù)字譜儀中，探測(cè)器輸出信號(hào)直接進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換，經(jīng)過數(shù)字濾波可以改善模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)的線性和精度，因此數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)成為提高整個(gè)系統(tǒng)性能指標(biāo)的關(guān)鍵。譜儀濾波器的設(shè)計(jì)，除盡可能提高信噪比外，通常還要考慮成形脈沖形狀的要求，例如窄成形脈沖以減少堆積，渡形頂部平坦以減少?gòu)椀捞潛p等。

　　文提出了一種可以附加任意約束、在任意噪聲背景下設(shè)計(jì)最佳模擬濾波器的方法，由于設(shè)計(jì)出來的是權(quán)函數(shù)，無法直接用于數(shù)字濾波，而且通過抽樣最佳模擬濾波器得到的數(shù)字濾波器不是最優(yōu)濾波器。文提出了移動(dòng)窗口解卷積的設(shè)計(jì)方法，此方法無法考慮噪聲影響，僅適合指數(shù)衰減形式的脈沖。文提出了懲罰最小方差方法設(shè)計(jì)最佳濾波器，其約束必須寫成二次型的形式，添加約束比較困難，并且在多個(gè)約束的條件下，無法綜合出嚴(yán)格的平頂。

　　有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器沒有反饋通路，某個(gè)時(shí)刻的輸出直接由此時(shí)刻之前固定時(shí)間長(zhǎng)度的輸入決定，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易于通用數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)芯片或在線可編程邏輯陣列(FPGA)實(shí)現(xiàn)。本文提出了一種基于信噪比準(zhǔn)則的直接設(shè)計(jì)最佳數(shù)字FIR濾波器的方法。

　　l 問題的提出

　　假定噪聲是和輸入信號(hào)不相關(guān)的平穩(wěn)隨機(jī)過程，在已知輸入信號(hào)形狀噪聲自相關(guān)函數(shù)的條件下，尋找滿足約束條件的FIR濾波器，使輸出信號(hào)的信噪比最大。先求得以濾波器系數(shù)為變量的信噪比表達(dá)式，然后添加適當(dāng)約束，把求解最佳濾波器的任務(wù)轉(zhuǎn)化成求解一個(gè)約束最優(yōu)化問題。

　　1．1 SNR的計(jì)算

　　設(shè)噪聲的自相關(guān)函數(shù)為{r(i)}，待求的N階FIR濾波器的沖擊響應(yīng)為h={h(0)，h(1)，…，h(N一1)}T，采樣得到的信號(hào)為{s(i)}，由已知波形的輸入脈沖信號(hào){x(i)}和噪聲信號(hào){n(i)}相加而成。從{x(i)}選取N個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)，使N個(gè)數(shù)的平方和最大，重新排列標(biāo)號(hào)，使得選取的數(shù)據(jù)為{x(1)，…，x(N)}。

　　1．2 時(shí)域約束的添加

　　濾波后的脈沖為輸入和FIR濾波器的卷積，即成形后脈沖各點(diǎn)是輸入以h為系數(shù)的線性組合，這樣把在時(shí)域的約束轉(zhuǎn)化成了對(duì)h的約束。以添加平頂約束為例，設(shè)要求輸出脈沖的平頂寬度為m，即要求y(N)直到y(tǒng)(N一m)相等，則有：

　　1．3 頻域約束的添加

　　FIR的頻率響應(yīng)為

　　式中DTFT表示離散Fourier變換。

　　頻率響應(yīng)函數(shù)為FIR濾波器系數(shù)的線性組合，因此把在頻域的約束也轉(zhuǎn)化成對(duì)h的約束。為了去除基線漂移，F(xiàn)IR的頻率響應(yīng)在0 Hz處為0，即

　　平頂和去除基線這兩個(gè)約束構(gòu)成了一個(gè)線性方程組。這些約束相互之間是獨(dú)立的，否則可以從這些方程中選取出最大無關(guān)向量組來構(gòu)成A。綜合式(1)和(2)，構(gòu)成一個(gè)線性約束最優(yōu)化問題。

　　2 問題的求解

　　在有約束情況下，約束線性方程組把N維線性空間直和分解分成兩個(gè)空間：濾波器允許空間(任意向量都滿足約束條件)及此空間的正交補(bǔ)。把無約束下的解向?yàn)V波器允許空間投影就得到了約束條件下的最佳解。

　　2．1 無約束的情況

　　噪聲的相關(guān)矩陣為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，可以共軛對(duì)角化為

　　2．2 有約束的情況

　　在有約束的情況下，h1受約束條件的限制，約束條件轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性方程組，即

　　假設(shè)共有m個(gè)獨(dú)立約束，則約束方程組的解構(gòu)成一個(gè)N一m維線性空間，稱為濾波器允許空間，記做V，則V垂直于矩陣的行空間。把作QR分解得到

　　由于P為單位正交陣，P的前m列構(gòu)成的行空間一個(gè)正交基底，后N一m列構(gòu)成V的一個(gè)正交基底。把分解成V中的向量和與V垂直的向量，有

　　當(dāng)約束方程中的b不為0時(shí)，則h1被限制在一個(gè)仿射空間內(nèi)，把h1平移到此空間中的任意一點(diǎn)，就變化成和b為0一樣的解法。在約束為非線性時(shí)，可以采用數(shù)值最優(yōu)化方法求解。

　　2．3 求解結(jié)果的分析

　　無約束的情況：在白噪聲情況下，自相關(guān)矩陣為噪聲功率乘以單位陣，此時(shí)的解簡(jiǎn)化為h=kx。也就是說，濾波器與已知信號(hào)的形狀成正比，對(duì)應(yīng)于模擬情況下的匹配濾波器。在有色噪聲情況下，相當(dāng)于x先對(duì)輸入噪聲進(jìn)行白化處理，得到白噪聲，因此，有色噪聲情況下的最佳濾波器是白化濾波器與其后的白噪聲匹配濾波器的級(jí)聯(lián)。

　　在有約束的情況下，給定的約束條件限制了濾波器的范圍，最佳濾波器為無約束條件下的最佳濾波器向?yàn)V波器允許空間的投影。

　　2．4 輸入波形和噪聲自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算

　　在已知前放和抗混疊濾波器參數(shù)的情況下，可以直接計(jì)算得到輸入信號(hào)。由于RC參數(shù)的不精確，計(jì)算得到的波形和實(shí)際的波形有差別，可以通過估計(jì)極零點(diǎn)的方法加以修正。或者平均多次ADC的采樣來減小噪聲，從而得到輸入信號(hào)的波形。

　　在已知噪聲功率譜的情況下，可以通過Fourier反變換得到連續(xù)時(shí)間下的自相關(guān)函數(shù)。在很多情況下，可能不知道準(zhǔn)確的系統(tǒng)噪聲特性，可以通過采樣無信號(hào)輸入時(shí)ADC的輸出來計(jì)算系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)。如果采樣得到的噪聲序列是{x(i)}，那么怙計(jì)自相關(guān)函數(shù)為

　　3 設(shè)計(jì)結(jié)果

　　以下面的參數(shù)為例進(jìn)行分析：輸入脈沖有3個(gè)相等的實(shí)極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)為200 ns，幅度歸一化為1，采樣頻率為50 MHz，噪聲為白噪聲。

　　3．1 濾波器長(zhǎng)度的選取

　　濾波器的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，系統(tǒng)能夠得到的信噪比越大。但成形后的脈沖寬度也越寬，因而容易產(chǎn)生堆積。在設(shè)計(jì)實(shí)際的濾波器時(shí)，要根據(jù)計(jì)數(shù)率和噪聲等因素綜合考慮，選擇合適的長(zhǎng)度。一般在選取輸入波形數(shù)據(jù)段時(shí)，如果段數(shù)據(jù)平方包含的面積和整個(gè)波形平方后的總面積相差不多，則設(shè)計(jì)出的最佳濾波器的信噪比就很接近理論上的最大值。在下面討論中，把實(shí)際濾波器的信噪比以濾波器無限長(zhǎng)時(shí)的最大信噪比進(jìn)行了歸一化。在上述輸入條件下，F(xiàn)IR濾波器長(zhǎng)度取70時(shí)的信噪比已達(dá)到0．998。

　　3．2 設(shè)計(jì)結(jié)果

　　取濾波器的長(zhǎng)度為70，在無約束、有平頂寬度為20、去除基線和既有平頂叉去除基線4種約束情況下分別求解，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖l所示。有平頂約束的FIR濾