小波變換和motion信號處理：第二篇

當(dāng)然，如果這個scaling function只是用來代表一個子空間的，那它的地位也就不會這么重要了。剛才我們提到，這個嵌套空間序列有一個性質(zhì)，

。這就是這個函數(shù)，如果你對它頻域的放大或縮小，它就會相應(yīng)移到下一個或者上一個空間了。這個性質(zhì)就有意思了，它代表什么呢?對于任何一個包含V0的更上一層的空間來講，他們的基都可以通過對scaling function做頻域的scale后再做時域上的整數(shù)變換得到!推廣開來就是說，當(dāng)

我們有

這也就意味著，對于任何屬于V_j空間的函數(shù)f(t)，都可以表示為：

到這里，我們就明白這些個子空間和那個憑空冒出來的scaling function的作用了。scaling的構(gòu)建這些不同的子空間的基礎(chǔ)，當(dāng)j越大的時候，每一次你對頻率變換后的scaling function所做的時域上的整數(shù)平移幅度會越小，這樣在這個j子空間里面得到的f(t)表示粒度會很細(xì)，細(xì)節(jié)展現(xiàn)很多。反之亦然。通俗點(diǎn)說，就是對scaling function的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標(biāo)信號。

下面就是時候看看什么是MRA equation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過剛才的講解，V0屬于V1，那scaling function

是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫成V1的基的線性組合，那就是

其中的h(n)是scaling function的系數(shù)，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。根號2是為了維持norm為1的。看，在這個公式里，我們就把屬于V0的函數(shù)用V1的基表示出來了。同理，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的

在V2, V3, …, Vn中表示出來。這些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。

好，稍微總結(jié)一下。到現(xiàn)在，已經(jīng)講了關(guān)于scaling function的基本理論知識，知道了信號空間可以分為不同精細(xì)度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling function或者頻率變換之后的scaling function，如下圖所示：

上圖就是四個子空間的basis集合的展覽。通過前面的討論，我們還知道，一開始的scaling function可以通過更精細(xì)的子空間的scaling function(它們都是對應(yīng)子空間的basis)來構(gòu)建。比如

對于更加finer的scale：

圖2

依此類推。實(shí)際上，對于任何scale和translate過的scaling function，都可以用更加精細(xì)的scale層面上的scaling function構(gòu)建出來。

然后，我們有各種scale下的scaling function了，該看看它們分別所對應(yīng)的嵌套的空間序列

了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function為基礎(chǔ)去span出來的：

這個不新鮮，剛才就講過了。這個子空間代表什么樣的信號?常量信號。道理很簡單，這個scaling function在整個信號長度上，沒有任何變化。繼續(xù)往下看：

這個相比V0更加finer的子空間，代表著這樣一種信號，它從1-4是常量，從5-8是另一個常量。同理我們有：

V2代表的信號，是分別在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信號。那么V3呢?則表示任何信號，因?yàn)閷τ赩3來講，任何一個時間刻度上的值都可以不一樣。而且現(xiàn)在，我們也可以通過上面的一些scaling functions的波形驗(yàn)證了之前提到的多解析度分析中的一個核心性質(zhì)，那就是：

我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現(xiàn)在，通過這些圖形化的分析，我們可能才會真正理解它。那好，既然我們有一個現(xiàn)成的信號，那就來看看，對這個信號作多解析度分析是啥樣子的：

你看，在不同的子空間，對于同一個信號就有不同的詮釋。詮釋最好的當(dāng)然是V3，完全不損失細(xì)節(jié)。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scaling function演變的basis function集合，每一個集合都提供對原始信號的某種近似，解析度越高，近似越精確。