小波變換和motion信號(hào)處理：第一篇

就是小波級(jí)數(shù)，這些級(jí)數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是，小波級(jí)數(shù)通常是orthonormal basis，也就是說，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。小波級(jí)數(shù)通常有很多種，但是都符合下面這些特性：

1. 小波變換對(duì)不管是一維還是高維的大部分信號(hào)都能cover很好。這個(gè)和傅立葉級(jí)數(shù)有很大區(qū)別。后者最擅長的是把一維的，類三角波連續(xù)變量函數(shù)信號(hào)映射到一維系數(shù)序列上，但對(duì)于突變信號(hào)或任何高維的非三角波信號(hào)則幾乎無能為力。

2. 圍繞小波級(jí)數(shù)的展開能夠在時(shí)域和頻域上同時(shí)定位信號(hào)，也就是說，信號(hào)的大部分能量都能由非常少的展開系數(shù)，比如a_{j,k}，決定。這個(gè)特性是得益于小波變換是二維變換。我們從兩者展開的表達(dá)式就可以看出來，傅立葉級(jí)數(shù)是

，而小波級(jí)數(shù)是

。

3. 從信號(hào)算出展開系數(shù)a需要很方便。普遍情況下，小波變換的復(fù)雜度是O(Nlog(N))，和FFT相當(dāng)。有不少很快的變換甚至可以達(dá)到O(N)，也就是說，計(jì)算復(fù)雜度和信號(hào)長度是線性的關(guān)系。小波變換的等式定義，可以沒有積分，沒有微分，僅僅是乘法和加法即可以做到，和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的計(jì)算指令完全match。

可能看到這里，你會(huì)有點(diǎn)暈了。這些特性是怎么來的?為什么需要有這些特性?具體到實(shí)踐中，它們到底是怎么給小波變換帶來比別人更強(qiáng)的好處的?計(jì)算簡單這個(gè)可能好理解，因?yàn)榍懊嫖覀円呀?jīng)講過正交特性了。那么二維變換呢?頻域和時(shí)域定位是如何進(jìn)行的呢?恩，我完全理解你的感受，因?yàn)楫?dāng)初我看別的文章，也是有這些問題，就是看不到答案。要說想完全理解小波變換的這些本質(zhì)，需要詳細(xì)的講解，所以我就把它放到下一篇了。

接下來，上幾張圖，我們以一些基本的信號(hào)處理來呈現(xiàn)小波變換比傅立葉變換好的地方，我保證，你看了這個(gè)比較之后，大概能隱約感受到小波變換的強(qiáng)大，并對(duì)背后的原理充滿期待:)

假設(shè)我們現(xiàn)在有這么一個(gè)信號(hào)：

看到了吧，這個(gè)信號(hào)就是一個(gè)直流信號(hào)。我們用傅立葉將其展開，會(huì)發(fā)現(xiàn)形式非常簡單：只有一個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不是0，其他所有級(jí)數(shù)系數(shù)都是0。好，我們?cè)倏唇酉聛磉@個(gè)信號(hào)：

簡單說，就是在前一個(gè)直流信號(hào)上，增加了一個(gè)突變。其實(shí)這個(gè)突變，在時(shí)域中看來很簡單，前面還是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中間有一個(gè)階躍嘛。但是，如果我們?cè)俅巫屍涓盗⑷~展開呢?所有的傅立葉級(jí)數(shù)都為非0了!為什么?因?yàn)楦盗⑷~必須用三角波來展開信號(hào)，對(duì)于這種變換突然而劇烈的信號(hào)來講，即使只有一小段變換，傅立葉也不得不用大量的三角波去擬合，就像這樣：

看看上面這個(gè)圖。學(xué)過基本的信號(hào)知識(shí)的朋友估計(jì)都能想到，這不就是Gibbs現(xiàn)象么?Exactly。用比較八股的說法來解釋，Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點(diǎn)鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時(shí)，這一現(xiàn)象也依然存在。其實(shí)通俗一點(diǎn)解釋，就是當(dāng)變化太sharp的時(shí)候，三角波fit不過來了，就湊合出Gibbs了:)

接下來我們來看看，如果用剛才舉例中的那種小波，展開之后是這樣的：

看見了么?只要小波basis不和這個(gè)信號(hào)變化重疊，它所對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)系數(shù)都為0!也就是說，假如我們就用這個(gè)三級(jí)小波對(duì)此信號(hào)展開，那么只有3個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不為0 。你可以使用更復(fù)雜的小波，不管什么小波，大部分級(jí)數(shù)系數(shù)都會(huì)是0。原因?由于小波basis的特殊性，任何小波和常量函數(shù)的內(nèi)積都趨近于0。換句話說，選小波的時(shí)候，就需要保證母小波在一個(gè)周期的積分趨近于0。正是這個(gè)有趣的性質(zhì)，讓小波變換的計(jì)算以及對(duì)信號(hào)的詮釋比傅立葉變換更勝一籌!原因在于，小波變換允許更加精確的局部描述以及信號(hào)特征的分離。一個(gè)傅立葉系數(shù)通常表示某個(gè)貫穿整個(gè)時(shí)間域的信號(hào)分量，因此，即使是臨時(shí)的信號(hào)，其特征也被強(qiáng)扯到了整個(gè)時(shí)間周期去描述。而小波展開的系數(shù)則代表了對(duì)應(yīng)分量它當(dāng)下的自己，因此非常容易詮釋。

小波變換的優(yōu)勢(shì)不僅僅在這里。事實(shí)上，對(duì)于傅立葉變換以及大部分的信號(hào)變換系統(tǒng)，他們的函數(shù)基都是固定的，那么變換后的結(jié)果只能按部就班被分析推導(dǎo)出來，沒有任何靈活性，比如你如果決定使用傅立葉變換了，那basis function就是正弦波，你不管怎么scale，它都是正弦波，即使你舉出余弦波，它還是移相后的正弦波。總之你就只能用正弦波，沒有任何商量的余地。而對(duì)于小波變換來講，基是變的，是可以根據(jù)信號(hào)來推導(dǎo)或者構(gòu)建出來的，只要符合小波變換的性質(zhì)和特點(diǎn)即可。也就是說，如果你有著比較特殊的信號(hào)需要處理，你甚至可以構(gòu)建一個(gè)專門針對(duì)這種特殊信號(hào)的小波basis function集合對(duì)其進(jìn)行分析。這種靈活性是任何別的變換都無法比擬的?？偨Y(jié)來說，傅立葉變換適合周期性的，統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化的信號(hào); 而小波變換則適用于大部分信號(hào)，尤其是瞬時(shí)信號(hào)。它針對(duì)絕大部分信號(hào)的壓縮，去噪，檢測(cè)效果都特別好。

看到這里，你應(yīng)該大概了解了小波變換針對(duì)傅立葉變換的優(yōu)點(diǎn)了。你也許對(duì)背后的原因還存在一些疑問，并希望深入了解一些小波的構(gòu)建等知識(shí)，請(qǐng)移步本系列第二篇：傅立葉變換，小波變換和motion信號(hào)處理：第二篇