Phasors如何幫助我們理解帶通信號(hào)

使用相量，我們探索了在RF通信系統(tǒng)使用的模型中，實(shí)值帶通信號(hào)是如何表示為復(fù)基帶信號(hào)的。

帶通信號(hào)和系統(tǒng)在通信系統(tǒng)中至關(guān)重要。有趣的是，實(shí)值帶通信號(hào)中攜帶的所有信息都包含在相應(yīng)的復(fù)值基帶信號(hào)中。這種復(fù)雜的基帶表示對(duì)于理解無(wú)線電通信系統(tǒng)非常有幫助。

在本文中，我們將學(xué)習(xí)帶通信號(hào)的復(fù)基帶表示。作為討論的一部分，我們還將探討交流電路中相量分析的概念。然而，在我們深入探討之前，讓我們通過(guò)回顧低通和帶通信號(hào)的定義來(lái)確保我們已經(jīng)涵蓋了基礎(chǔ)知識(shí)。

低通和帶通信號(hào)

當(dāng)信號(hào)的頻率內(nèi)容或頻譜以零頻率為中心時(shí)，該信號(hào)被稱為低通信號(hào)。換句話說(shuō)，低通信號(hào)具有明確定義的帶寬B，|f|>B的頻譜內(nèi)容可以忽略不計(jì)。

示例低通信號(hào)的頻譜，分為實(shí)部和虛部。

圖1 帶寬為b的實(shí)值低通信號(hào)的實(shí)部（a）和虛部（b）

請(qǐng)注意，如果s（t）是實(shí)值函數(shù)，其傅里葉變換（s（f））將表現(xiàn)出共軛對(duì)稱性。這意味著S（f）的實(shí)部是偶數(shù)函數(shù)，而虛部是奇數(shù)函數(shù)。

另一方面，帶通信號(hào)的頻譜中心頻率（fc）遠(yuǎn)大于信號(hào)帶寬（B）。圖2顯示了示例帶通信號(hào)的實(shí)部和虛部。

以fc為中心的示例帶通光譜的實(shí)部（a）和虛部（b）。

圖2 中心頻率為fc、帶寬為B的實(shí)值帶通信號(hào)的頻譜，分為實(shí)部（a）和虛部（B）

與圖1中的示例基帶頻譜一樣，由于信號(hào)是實(shí)值的，圖2表現(xiàn)出共軛對(duì)稱性。

實(shí)信號(hào)的帶寬被定義為信號(hào)中包含的所有正頻率分量的跨度。如果信號(hào)中存在的最高和最低正頻率分別為fmax和fmin，則信號(hào)的帶寬為：

方程式1

根據(jù)上述定義，頻率為fc且振幅a恒定的單音正弦曲線的帶寬為零。

方程式2

然而，如果A隨時(shí)間緩慢變化，那么我們就有一個(gè)非零帶寬的調(diào)幅（AM）波。

交流電路中的相量表示

相量是一個(gè)復(fù)數(shù)，表示正弦波形的幅度和相位角。在交流電路分析中，相量用于分析頻率相關(guān)效應(yīng)。

例如，考慮方程2中所示的單音正弦波。該信號(hào)是復(fù)雜函數(shù)的實(shí)部：

方程式3

其中，運(yùn)算符Re{.}表示花括號(hào)內(nèi)包含的量的實(shí)部。我們可以將花括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)表示為復(fù)平面中的向量，其振幅為a，初始相位為θ。如圖3所示，該信號(hào)以角速度?c=2πfc圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

單音正弦波的相量表示。

圖3 單音正弦波的相量表示

上述矢量在實(shí)軸（其實(shí)部）上的投影產(chǎn)生方程2所示的原始信號(hào)。角項(xiàng)ωct表示每秒fc轉(zhuǎn)的穩(wěn)定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。為了獲得信號(hào)的簡(jiǎn)化表示，我們將暫時(shí)忽略此項(xiàng)。

去除旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致一個(gè)固定向量，該向量對(duì)應(yīng)于方程3中方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)。這個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的術(shù)語(yǔ)是與我們的信號(hào)相關(guān)的相量。它由以下因素給出：

方程式4

為了理解相量表示的意義，考慮一個(gè)由正弦輸入激勵(lì)的線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)。如圖4所示，這種激勵(lì)在電路內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生正弦信號(hào)。盡管所有這些信號(hào)具有相同的頻率，但它們的幅度和相位可能不同。

LTI電路產(chǎn)生的正弦信號(hào)可以用具有不同幅度和初始相位但以相同角速度旋轉(zhuǎn)的相量來(lái)描述。

圖4 LTI電路產(chǎn)生的正弦信號(hào)可以用具有不同幅度和初始相位但以相同角速度旋轉(zhuǎn)的相量來(lái)描述

由于所有這些矢量以相同的速度旋轉(zhuǎn)，它們之間的相位差不會(huì)隨時(shí)間變化。這些矢量的振幅比同樣與時(shí)間無(wú)關(guān)。因此，我們可以在特定時(shí)刻凍結(jié)旋轉(zhuǎn)矢量。

從電壓和電流量中去除時(shí)間依賴性，使我們能夠?qū)⑺鼈儽硎緸閺?fù)值、時(shí)間無(wú)關(guān)的數(shù)字。這大大簡(jiǎn)化了電路分析。一旦我們計(jì)算了電壓或電流量的矢量，我們就可以重新引入旋轉(zhuǎn)方面來(lái)確定該量的實(shí)際時(shí)域表達(dá)式。

簡(jiǎn)而言之，相量消除了時(shí)間依賴性的復(fù)雜性，使描述電壓和電流量變得更加容易。粗略地說(shuō)，您可以將相量視為單頻正弦波的低通或直流等效物。

推導(dǎo)調(diào)制帶通信號(hào)的低通等效值

到目前為止，我們假設(shè)正弦波具有固定的振幅和相位。然而，類似的分析可以應(yīng)用于具有緩慢變化的幅度和相位的固定頻率fc的正弦波。設(shè)以?c為中心的調(diào)制波定義為：

方程式5

其中A（t）和θ（t）是時(shí)變信號(hào)的瞬時(shí)振幅和相位。上述方程式可以改寫為：

方程式6

方程式7將括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)分開：

方程式7

該術(shù)語(yǔ)是帶通信號(hào)的復(fù)基帶表示。上述方程也可以笛卡爾形式表示：

方程式8

其中si（t）和sq（t）是等效基帶信號(hào)sl（t）的實(shí)值同相和正交分量。這些組件由下式給出：

方程式9

因?yàn)閹ㄐ盘?hào)的同相和正交分量變化緩慢，所以我們知道它們都是低通信號(hào)。將sl（t）的笛卡爾形式代入方程6，我們可以用同相和正交分量來(lái)表示原始RF波：

方程式10

上述方程表明，帶通信號(hào)可以用兩個(gè)低通信號(hào)來(lái)表示，特別是其同相和正交分量。

等效低通信號(hào)的可視化表示

帶通信號(hào)的復(fù)低通表示可以被視為時(shí)變相量，其起點(diǎn)位于（sI-sQ）復(fù)平面的原點(diǎn)。如圖5所示。

等效基帶信號(hào)sl（t）表示為（sI-sQ）平面中的時(shí)變相量

圖5等效基帶信號(hào)sl（t）表示為（sI-sQ）平面中的時(shí)變相量

由于同相和正交分量（分別為si（t）和sq（t））是時(shí)間的函數(shù)，相量矢量的末端在（si-sq）平面內(nèi)移動(dòng)。

從方程6中，我們觀察到等效基帶信號(hào)sl（t）乘以復(fù)指數(shù)exp（jωct），得到帶通信號(hào)sRF（t）。因此，向量sl（t）和（sI-sQ）平面以角速度?c=2πfc旋轉(zhuǎn)。

包括旋轉(zhuǎn)方面的復(fù)平面中的時(shí)變相量。

圖6包括旋轉(zhuǎn)方面的復(fù)平面中的時(shí)變相量

原始帶通信號(hào)sRF（t）是該時(shí)變相量在表示實(shí)軸的固定線上的投影。

重建帶通信號(hào)

方程10立即告訴我們?nèi)绾螐耐嗪驼环至恐貥?gòu)帶通信號(hào)。低通到通帶轉(zhuǎn)換的電路如圖7所示。

從低通同相和正交信號(hào)生成通帶信號(hào)的框圖。

圖7從低通同相和正交信號(hào)生成帶通信號(hào)的框圖。

接下來(lái)，我們需要從帶通信號(hào)中確定等效基帶信號(hào)。我們將從sRF（t）乘以2cos（?ct）開始：

方程式11

如果我們以兩倍載波頻率對(duì)信號(hào)分量進(jìn)行濾波，我們得到：

方程式12

同樣，將sRF（t）乘以-2sin（?ct）得到：

方程式13

應(yīng)用適當(dāng)?shù)牡屯V波器可以消除載波頻率兩倍的信號(hào)分量，從而：

方程式14

圖8顯示了我們?nèi)绾问褂靡粚?duì)乘法器和一對(duì)低通濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)方程12和14。

用于從帶通信號(hào)生成低通同相和正交信號(hào)的框圖。

圖8用于從帶通信號(hào)生成低通同相和正交信號(hào)的框圖

總結(jié)

實(shí)值通帶信號(hào)中的所有信息都包含在相應(yīng)的復(fù)值基帶信號(hào)中。在本文中，我們學(xué)習(xí)了如何推導(dǎo)帶通信號(hào)的低通復(fù)等效值，反之亦然。

值得注意的是，擴(kuò)展此討論允許我們使用復(fù)數(shù)低通濾波器來(lái)表示帶通濾波器。為帶通信號(hào)和濾波器建立低通模型具有重大的實(shí)際意義。例如，現(xiàn)代通信收發(fā)器應(yīng)用這些模型對(duì)復(fù)雜的基帶信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理，從而減少了對(duì)通帶信號(hào)進(jìn)行模擬處理的需要。

圖7和圖8所示的電路對(duì)于理解線性調(diào)制方案至關(guān)重要，無(wú)論是模擬還是數(shù)字。在下一篇文章中，我們將看到Weaver調(diào)制器如何結(jié)合這些電路來(lái)生成單邊帶AM信號(hào)。