相量圖與相量代數(shù)

相量圖是一種用圖形表示兩個(gè)或多個(gè)交流量之間幅值和方向關(guān)系的工具。

相量圖通過(guò)在坐標(biāo)系中繪制圖形，直觀展示無(wú)源元件或整個(gè)電路中電壓與電流之間的相位關(guān)系。通常，相量以參考相量為基準(zhǔn)定義，參考相量始終沿x軸向右。

同頻率的正弦波之間存在相位差，表示兩個(gè)正弦波形之間的角度差異。常用“超前”“滯后”“同相”“異相”等術(shù)語(yǔ)描述正弦波形之間的關(guān)系。廣義正弦表達(dá)式為：

A(t) = Am sin(ωt ± Φ) 該式以時(shí)域形式表示正弦波。

但通過(guò)數(shù)學(xué)公式表示時(shí)，有時(shí)難以直觀理解兩個(gè)（或多個(gè)）正弦波形之間的角度或相量差異。解決這一問(wèn)題的方法之一是使用相量圖在空間或相量域中圖形化表示正弦波，這通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量法實(shí)現(xiàn)。

旋轉(zhuǎn)矢量（也稱(chēng)為“相位矢量”）是一條長(zhǎng)度可變的線段，其長(zhǎng)度代表交流量的幅值（“峰值”）和方向（“相位”），并在某一時(shí)刻“凍結(jié)”。矢量一端帶有箭頭，部分表示矢量的最大值（ Vm or Im），部分表示矢量的旋轉(zhuǎn)末端。

通常假設(shè)矢量圍繞固定零點(diǎn)（稱(chēng)為“原點(diǎn)”）旋轉(zhuǎn)。帶箭頭的一端表示以角速度（ω）逆時(shí)針自由旋轉(zhuǎn)的量。矢量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)被視為正旋轉(zhuǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)則為負(fù)旋轉(zhuǎn)。

盡管“矢量”和“相量”均用于描述具有幅值和方向的旋轉(zhuǎn)線段，但兩者的主要區(qū)別在于：矢量的幅值是正弦波的“峰值”，而相量的復(fù)幅值是正弦波的“有效值”（RMS值），因?yàn)橄嗔坑糜谏婕半娍沟慕涣麟娐贰烧叩南辔唤?、方向和角速度相同?/p>

交流量在任意時(shí)刻的相位可以通過(guò)相量圖表示，因此相量圖可視為“時(shí)間函數(shù)”的圖形化表達(dá)。一個(gè)完整的正弦波可通過(guò)單個(gè)矢量以角速度ω=2π?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)構(gòu)建（?為波形頻率）。因此，相量是一個(gè)兼具“幅值”和“方向”的量。

此外，矢量遵循平行四邊形加減法則，因此可以相加生成以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量和。相量則用數(shù)學(xué)上的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)或指數(shù)形式表示，例如（a+jb）。因此，相量符號(hào)定義了電壓和電流的有效值（RMS值）。

繪制相量圖時(shí)，通常假設(shè)正弦波的角速度為ω（弧度/秒）。觀察以下相量圖：

正弦波的相量圖

當(dāng)單個(gè)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，其端點(diǎn)A將完成360°或2π弧度的完整旋轉(zhuǎn)，代表一個(gè)完整周期。若將旋轉(zhuǎn)端在不同時(shí)間點(diǎn)的位置投影到圖中（如上所示），則從左端（零時(shí)刻）開(kāi)始可繪制出正弦波形。水平軸的每個(gè)位置表示從零時(shí)刻（t=0）起經(jīng)過(guò)的時(shí)間。當(dāng)矢量水平時(shí)，其端點(diǎn)表示角度0°、180°和360°。

同理，矢量垂直時(shí)，其端點(diǎn)表示正峰值（+Am >，對(duì)應(yīng)90°或π/2）和負(fù)峰值（ -Am，對(duì)應(yīng)270°或3π/2）。波形的時(shí)間軸表示相量移動(dòng)的角度（度或弧度）。因此，相量可視為旋轉(zhuǎn)矢量在某一時(shí)刻（t）的“凍結(jié)”值，代表縮放后的電壓或電流值。上例中，該時(shí)刻對(duì)應(yīng)角度為30°。

分析交流波形時(shí)，有時(shí)需要知道相量在特定點(diǎn)的位置（尤其是比較同一軸上的兩個(gè)不同波形時(shí)，例如電壓和電流）。上例假設(shè)波形從t=0開(kāi)始，具有相應(yīng)的相位角（度或弧度）。

但如果第二個(gè)波形的起點(diǎn)位于零點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)，或需用相量符號(hào)表示兩個(gè)波形的關(guān)系，則必須考慮波形的相位差Φ。觀察以下相位差教程中的圖示：

正弦波的相位差

定義這兩個(gè)正弦量的廣義數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

電流i滯后電壓v的角度為Φ（上例中為30°）。因此，表示這兩個(gè)正弦量的相量之間的差異為角度Φ，生成的相量圖如下：

正弦波的相量圖

相量圖對(duì)應(yīng)時(shí)間零點(diǎn)（t=0）繪制在水平軸上。相量的長(zhǎng)度與電壓（V）和電流（I）在繪制時(shí)刻的瞬時(shí)值成比例。如前所述，電流相量滯后電壓相量角度Φ，因?yàn)閮蓚€(gè)相量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此角度Φ也按逆時(shí)針?lè)较驕y(cè)量。

若將波形凍結(jié)在t=30°時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的相量圖如右圖所示。由于兩個(gè)波形頻率相同，電流相量仍滯后電壓相量。但由于電流波形此時(shí)穿過(guò)水平零軸，可將電流相量作為新參考，并正確描述電壓相量“超前”電流相量角度Φ。無(wú)論如何，一個(gè)相量被指定為參考相量，其他相量均相對(duì)于該參考相量超前或滯后。

相量圖的加法

相量的一個(gè)重要用途是疊加同頻率的正弦量。在研究正弦波時(shí)，有時(shí)需要將兩個(gè)不同相的交流波形相加（例如交流串聯(lián)電路中）。

若兩個(gè)波形“同相”（無(wú)相位差），則可像直流值一樣直接相加求矢量的代數(shù)和。例如，兩個(gè)電壓分別為50伏和25伏且同相時(shí)，它們相加結(jié)果為75伏（50+25）。

但如果它們不同相（方向或起點(diǎn)不同），則需考慮相位角，并通過(guò)相量圖使用平行四邊形法則求合成相量或矢量和。

假設(shè)兩個(gè)交流電壓V1（峰值20伏）和 V2（峰值30伏），且V1到V2 為60°。總電壓VT可通過(guò)繪制相量圖表示這兩個(gè)矢量，并構(gòu)造平行四邊形（兩邊為V1和V2）求得，如下所示：

兩個(gè)相量的加法

通過(guò)按比例繪制兩個(gè)相量，其相量和V1+V2可通過(guò)測(cè)量對(duì)角線長(zhǎng)度（稱(chēng)為“合成r矢量”）得到，即從零點(diǎn)到構(gòu)造線0-A的交點(diǎn)。這種圖形法的缺點(diǎn)是按比例繪制相量耗時(shí)，且若繪制不精確可能導(dǎo)致誤差。

另一種確保結(jié)果準(zhǔn)確的方法是解析法。數(shù)學(xué)上，可通過(guò)計(jì)算兩個(gè)電壓的“垂直”和“水平”分量，再求合成“r矢量”VT的分量來(lái)相加。這種利用余弦和正弦定理求合成值的方法稱(chēng)為直角坐標(biāo)形式。

在直角坐標(biāo)形式中，相量分為實(shí)部（x）和虛部（y），構(gòu)成廣義表達(dá)式Z=x±jy（下節(jié)將詳細(xì)討論）。由此得到表示正弦電壓幅值和相位的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

因此，使用廣義表達(dá)式將兩個(gè)矢量A和B相加的步驟如下：

直角坐標(biāo)形式的相量加法

假設(shè)電壓V2（30伏）沿水平零軸方向，則其只有水平分量，無(wú)垂直分量：

-水平分量=30cos0°=30伏

-垂直分量=30sin0°=0伏

因此，V2的直角坐標(biāo)表達(dá)式為：30+j0

電壓V1（20伏）超前V260°，因此具有水平和垂直分量：

-水平分量=20cos60°=20×0.5=10伏

-垂直分量=20sin60°=20×0.866=17.32伏

因此，V1的直角坐標(biāo)表達(dá)式為：10+j17.32

合成電壓VT通過(guò)水平和垂直分量相加得到：

-水平分量=V1和V2實(shí)部之和=30+10=40伏

-垂直分量=V1和V2虛部之和=0+17.32=17.32伏

通過(guò)勾股定理計(jì)算90°三角形的斜邊，得到VT的幅值：

合成相量圖如下：

合成電壓VT的確定

相量圖的減法運(yùn)算與前述直角坐標(biāo)加法類(lèi)似，但此時(shí)矢量差為電壓V1和V2所構(gòu)成平行四邊形的另一條對(duì)角線，如下圖所示：

兩個(gè)相量的減法

與加法不同，減法需對(duì)水平和垂直分量進(jìn)行相減運(yùn)算：

三相相量圖

此前我們僅討論了單相交流波形（單個(gè)多匝線圈在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)）。若將三個(gè)匝數(shù)相同的線圈以120°電角度間隔安裝在同一轉(zhuǎn)子軸上，則可產(chǎn)生三相電壓。

平衡三相電源由三個(gè)幅值、頻率相同但相位互差120°的正弦電壓組成。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)用紅（R）、黃（Y）、藍(lán)（B）三色標(biāo)識(shí)相位，并以紅色相位為參考相位。三相電源的標(biāo)準(zhǔn)相序?yàn)榧t→黃→藍(lán)（R-Y-B）。

與單相相量類(lèi)似，三相系統(tǒng)的相量也以角速度ω（弧度/秒）繞中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。下圖展示星型（Y）或三角形（Δ）連接的三相平衡系統(tǒng)相量圖：

三相星型連接相量圖

各相電壓幅值相等，僅相位角不同。三個(gè)線圈繞組在a1、b1、c1點(diǎn)連接形成公共中性點(diǎn)。以紅色相位為參考時(shí)，各相電壓對(duì)中性點(diǎn)的表達(dá)式為：

若以VRN為參考電壓，則黃色相位電壓滯后VRN120°，藍(lán)色相位電壓又滯后VYN120°。亦可表述為藍(lán)色相位電壓VBN超前VRN120°。

關(guān)于三相系統(tǒng)的關(guān)鍵特性：由于三個(gè)正弦電壓的相位差恒為120°，它們構(gòu)成“平衡”系統(tǒng)，因此其相量和恒為零：Va + Vb + Vc = 0

相量圖要點(diǎn)總結(jié)

1.本質(zhì)：相量圖是旋轉(zhuǎn)矢量在水平軸（瞬時(shí)值）上的投影，參考相量始終沿x軸正方向繪制。

2.適用范圍：僅適用于正弦交流量。

3.多相量表示：可同時(shí)表示任意時(shí)刻兩個(gè)及以上同頻率正弦量（電壓、電流等）。

4.繪制規(guī)則：

-參考相量置于水平軸，其他相量按相對(duì)位置繪制

-所有相量以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

-超前相量位于參考相量前方，滯后相量位于后方

5.幅值標(biāo)準(zhǔn)：相量長(zhǎng)度通常代表有效值（RMS），而非峰值。

6.頻率限制：不同頻率的正弦波不可共用相量圖（因旋轉(zhuǎn)速度不同導(dǎo)致相位差動(dòng)態(tài)變化）。

7.矢量運(yùn)算：通過(guò)平行四邊形法則可進(jìn)行加減運(yùn)算，合成單一矢量。

8.三相特性：平衡系統(tǒng)中各相量間隔120°。

在接下來(lái)的交流理論教程中，我們將探討用復(fù)數(shù)（直角坐標(biāo)式、極坐標(biāo)式、指數(shù)式）表示正弦波形的方法。