正弦波形

正弦交流波形是隨時間變化的周期性波形，其參數(shù)包括電壓和頻率

正弦波形是一種周期性波形，其形狀可通過三角學中的正弦或余弦函數(shù)繪制。由正弦波形供電的電路，其極性每周期變化一次，通常稱為"交流"(AC)電壓和電流源。

當電流流過導線或導體時，會在導線周圍形成環(huán)形磁場，其強度與電流值相關。若使單根導線在靜止磁場中移動或旋轉，由于導體切割磁力線，導體內部會感應出"電動勢"(EMF)。

由此可見，電與磁之間存在關聯(lián)性，正如邁克爾·法拉第發(fā)現(xiàn)的"電磁感應"效應。這一基本原理被電機和發(fā)電機用來產生我們日常使用的正弦交流電。

旋轉線圈

在電磁感應教程中我們提到，當單根導線切割永磁場的磁力線時，內部會感應出電動勢。

然而，當旋轉導體在A、B兩點位置與磁場平行移動時，沒有切割任何磁力線，因此不會產生感應電動勢。當導體在C、D兩點位置與磁場垂直移動時，切割的磁力線數(shù)量最多，產生的感應電動勢也最大。

此外，導體在A、C兩點之間(0-90°)以不同角度切割磁場時，感應電動勢的大小將介于零到最大值之間。因此，導體中的感應電動勢大小取決于導體與磁力線的夾角以及磁場強度。

交流發(fā)電機利用法拉第電磁感應原理，將旋轉等機械能轉化為電能——即正弦波形。簡單發(fā)電機由一對永磁體組成，在南北極之間形成固定磁場。磁場內放置一個可繞固定軸旋轉的矩形導線環(huán)，使其能以不同角度切割磁力線，如下圖所示。

基礎單線圈交流發(fā)電機

(此處插入交流發(fā)電機示意圖)

當線圈沿垂直于磁場的中心軸逆時針旋轉時，導線環(huán)以不同角度切割南北極之間的磁力線。任意時刻線圈中的感應電動勢大小與導線環(huán)的旋轉角度成正比。

隨著導線環(huán)旋轉，電子沿環(huán)向一個方向流動。當導線環(huán)旋轉超過180°點反向切割磁力線時，電子流動方向隨之改變，從而改變感應電壓的極性。

由此可見，線圈每完成360°完整旋轉，就產生一個完整周期的正弦波形。線圈在磁場中旋轉時，通過碳刷和滑環(huán)將感應電流導出。

線圈切割磁力線產生的電動勢大小由以下三個因素決定：

1.轉速——線圈在磁場中的旋轉速度

2.強度——磁場的強度

3.長度——切割磁場的線圈或導體長度

我們知道電源頻率是指每秒出現(xiàn)的周期數(shù)，單位為赫茲(Hz)。如上所示，線圈在包含南北極的磁場中每旋轉一圈產生一個感應電動勢周期，若保持恒定轉速，則每秒產生固定數(shù)量的周期，從而形成恒定頻率。因此提高線圈轉速將增加頻率。故頻率與轉速成正比(?∝Ν)，其中Ν=轉/分鐘(r.p.m)。

此外，我們簡單的單線圈發(fā)電機僅有兩個磁極(一北極一南極)，即一對磁極。若增加磁極數(shù)量至四個(兩北極兩南極)，則在相同轉速下每轉可產生兩個周期。因此頻率與磁極對數(shù)成正比(?∝P)，其中P="磁極對數(shù)"。

綜上可得交流發(fā)電機的頻率輸出公式：

其中：Ν為轉速(r.p.m)，P為"磁極對數(shù)"，60用于轉換為秒。

瞬時電壓

線圈中任意時刻的感應電動勢取決于切割磁力線的速率，即與發(fā)電裝置的旋轉角度θ相關。由于交流波形持續(xù)變化其幅值，每個瞬間的波形值都不相同。

例如，1ms時刻的值與1.2ms時刻的值就不同。這些值統(tǒng)稱為瞬時值(Vi)。瞬時波形值及其方向隨線圈在磁場中的位置而變化，如下圖所示。

線圈在磁場中的位移

(此處插入線圈位移示意圖)

正弦波形的瞬時值計算公式為："瞬時值=最大值×sinθ"，通用公式表示為：

其中Vmax為線圈中感應的最大電壓，θ=ωt表示線圈隨時間變化的旋轉角度。

若已知波形峰值，通過上述公式可計算出波形各點的瞬時值。將這些值繪制在坐標紙上，即可構建出正弦波形。

為簡化計算，我們按每45°旋轉角取一個瞬時值(共8個點)，并假設最大電壓Vmax=100V。若采用更小間隔(如每30°取12個點或每10°取36個點)繪制，得到的正弦波形會更精確。

正弦波形構建

(此處插入正弦波形圖)

通過將0°-360°旋轉位置投影到波形縱坐標上獲得各點。當導線環(huán)或線圈完成360°完整旋轉時，即產生一個完整波形。

從正弦波形圖可見：當θ=0°、180°或360°時，因切割的磁力線最少，感應電動勢為零；當θ=90°和270°時，因切割的磁力線最多，感應電動勢達到峰值。

因此正弦波形在90°處有正峰值，270°處有負峰值。B、D、F、H各點產生的電動勢符合公式：e=Vmax.sinθ。

這種由簡單單環(huán)發(fā)電機產生的波形因其形狀符合正弦函數(shù)而被稱為正弦波。數(shù)學上表示為x(t)=Amax.sinθ。

處理時域中的正弦波(尤其是電流相關正弦波)時，橫軸單位可采用時間、角度或弧度。電氣工程中更常用弧度而非角度作為水平軸的角度量單位，例如ω=100rad/s或500rad/s。

弧度

弧度(rad)的數(shù)學定義是：圓的象限弧長等于該圓半徑(r)時的圓心角。由于圓周長為2π×半徑，故360°圓周包含2π弧度。

換言之，弧度是角度測量單位，1弧度(r)對應的弧長在圓周上恰好出現(xiàn)2π(約6.284)次。因此1弧度=360°/2π=57.3°。在電氣工程中弧度使用非常普遍，需牢記以下公式：

弧度定義

(此處插入弧度定義圖示)

使用弧度作為正弦波形的測量單位時，360°完整周期對應2π弧度，半個正弦波形對應1π弧度(即π)。已知π≈3.142，因此正弦波形的角度與弧度轉換關系為：

角度與弧度關系

應用這兩個公式可得波形各點對應值：

(此處插入正弦波形弧度對應圖)

常見正弦分析中角度與弧度的換算關系如下表：

角度與弧度對照表

發(fā)電機繞中心軸的旋轉速度決定了正弦波的頻率。當波形頻率為?赫茲(Hz)或周/秒時，波形還具有角頻率ω(單位：弧度/秒)。正弦波的角速度公式為：

在英國，電網(wǎng)的角速度或角頻率為：

在美國，因電網(wǎng)頻率為60Hz，故為：377rad/s

至此我們明白：發(fā)電機繞中心軸的旋轉速度決定了正弦波的頻率(即角速度ω)。同時還應知道，完成一整圈旋轉所需時間等于正弦波的周期(T)。

由于頻率與周期成反比(?=1/T)，可將頻率量替換為周期量，得到：

該式表明：正弦波的周期越短，角速度必須越大。同理，頻率越高，角速度也越高。

正弦波形示例1

已知正弦波形定義為：Vm=169.8sin(377t)伏特。計算該波形的：

1.RMS電壓

2.頻率

3.6毫秒(6ms)時的瞬時電壓值(Vi)

由正弦波通用表達式：

與給定表達式Vm=169.8sin(377t)對比可知：

峰值電壓Vmax=169.8V

RMS電壓計算為：

已知角速度ω=377rad/s，由2π?=377得頻率：

6ms時的瞬時電壓值：

注：t=6ms時的角速度以弧度表示。如需轉換為角度值計算瞬時電壓，轉換公式為：

因此正弦波分析計算的通用格式如下：

(此處插入正弦波分析通用格式圖示)

在下一篇關于相位差的教程中，我們將探討兩個同頻率正弦波之間的關系，它們以不同時間間隔通過水平零軸。