用導納史密斯圓圖分析RLC元件及實例

了解導納史密斯圓圖，以分析電阻器、電容器和電感器的并聯(lián)連接，并查看電路在掃頻范圍內(nèi)的行為。

由于網(wǎng)絡分析儀直接在史密斯圓圖上顯示反射系數(shù)數(shù)據(jù)與頻率的關(guān)系，因此熟悉史密斯圓圖以輕松識別RLC組件的組合可以產(chǎn)生顯示的輪廓非常重要。在上一篇文章中，我們使用阻抗史密斯圓圖來檢查串聯(lián)RC、RL和RLC電路的頻率響應。史密斯圓圖是電氣工程師菲利普·哈格·史密斯的發(fā)明。

在本文中，我們將推導導納史密斯圓圖，該圖使我們能夠輕松分析電阻器、電容器和電感器的并聯(lián)連接。我們將看到，通過掃頻，并聯(lián)電路的導納在史密斯圓圖上產(chǎn)生了一個輪廓，描述了掃頻范圍內(nèi)的電路行為。

導納史密斯圓圖的建立

串聯(lián)RC、RL和RLC電路的頻率響應可以很容易地通過阻抗史密斯圓圖進行分析。從電路理論概念來看，當處理RLC元件的并聯(lián)連接時，使用導納（Y）概念可以簡化計算。以類似的方式，我們可以繪制Γ平面中的導納等值線圖，以分析組件的并聯(lián)連接。這給了我們一個新的史密斯圖，稱為導納史密斯圖。

讓我們看看如何利用我們對阻抗史密斯圓圖的了解來推導導納史密斯圓圖。阻抗史密斯圓圖實際上是Γ平面中z的某些特定值的以下映射函數(shù)的圖：

方程式1

這里z=r+jx是歸一化阻抗。電阻r和電抗x的一些常數(shù)值的上述映射函數(shù)圖為我們提供了阻抗史密斯圓圖，如下圖1所示。

圖1 阻抗史密斯圓圖示例

作為電子工程師，我們知道方程1中參數(shù)z的物理解釋表示電路的阻抗。然而，從數(shù)學的角度來看，z只是一個復數(shù)，可以表示任何復數(shù)參數(shù)。換句話說，有了阻抗史密斯圓圖，我們知道方程1如何將任意復數(shù)z映射到Γ平面。為了利用這些知識推導Γ平面中的導納輪廓，我們只需要將Γ和導納Y之間的關(guān)系寫成方程1的形式。以阻抗表示的反射系數(shù)方程為：

替換 $Z=\frac{1}{Y}$ 和 $Z_0=\frac{1}{Y_0}$，其中Y0是參考導納，我們得到：

將分子和分母除以Y0，并定義歸一化導納$y=\frac{Y}{Y_0}$，給出了方程式2。

方程式2

注意到y(tǒng)是復數(shù)（y=g+jb），方程2中的映射函數(shù)與方程1中的映射函數(shù)相同，除了它乘以-1。由于這種代數(shù)變化，通過將阻抗史密斯圓圖旋轉(zhuǎn)180°（因為-1=ejπ），可以獲得Γ平面中的導納輪廓。導納史密斯圓圖如圖2所示。

圖2:導納史密斯圓圖示例

準入史密斯圓圖要點

導納史密斯圓圖提供了Γ平面中歸一化導納y=g+jb的圖，其中g(shù)和b分別表示y的電導和電納。請注意，由于上述180°旋轉(zhuǎn)，圖的上半部分對應于b的負值（或負電納）。這是有道理的，因為我們知道電感性阻抗出現(xiàn)在阻抗史密斯圓圖的上半部分，電感性負載也有負電納b。另一方面，導納史密斯圓圖下半部分對應于正電納（或電容性組件）。

圖2中的導納史密斯圓圖還顯示了短路（z=0，y=∞，Γ=-1）和開路（z=∞，y=0，Γ=1）負載的位置。請注意，短路和開路負載的位置與阻抗史密斯圓圖的位置一致。這并不奇怪，因為我們只在Γ平面上繪制了一些導納輪廓，這顯然不會改變短路和開路負載的位置。

上圖中的圓圈對應于y平面中的恒定電導線g（見圖3）。

圖3 史密斯圓圖中的圓圈對應于y平面中的恒定電導線

請注意，對于被動負載，|Γ|不能超過1，我們處理的導納為正電導，g≥0。此外，如圖4所示，導納史密斯圓圖中的弧線對應于恒定電納線。

圖4 導納史密斯圓圖中與恒定電納線對應的電弧的視覺效果

如您所見，較小的圓形和弧形分別對應于較大的電導和電納值。因此，如果你增加導納的g或b分量，你將向史密斯圓圖中較小的圓和弧移動。

在給定頻率下，并聯(lián)RLC電路具有等效的歸一化導納y=g+jb，因此可以用導納史密斯圓圖上的一個點來表示。如果掃頻，導納的虛部會發(fā)生變化，我們可以在史密斯圓圖上得到描述電路行為的導納輪廓。讓我們來看一些例子。

導納史密斯圓圖示例

在本節(jié)中，您將找到六個不同的示例，這些示例有助于在我們繼續(xù)學習的過程中建立各種導納史密斯圓圖概念。

示例1：添加并聯(lián)電容器

當歸一化負載導納為y1=0.2-j0.5時，反射系數(shù)為Γ1=0.72∠54.62°（方程式2）。如果我們在這個導納上加上一個10 pF的并聯(lián)電容器（C1=10 pF），新的導納和反射系數(shù)是多少？

假設工作頻率為222.82 MHz，參考導納為Y0=20 mS（對應于參考阻抗Z0=50Ω）。負載導納y1和相關(guān)反射系數(shù)Γ1如圖5所示。

圖5 導納史密斯圓圖顯示了負載導納（y1）和相關(guān)的反射系數(shù)（Γ1）

并聯(lián)電容器僅影響新導納的電納。因此，新的導納也位于g=0.2的恒定電導圓上。在222.82 MHz下，10 pF電容器的歸一化電納為j0.7：

電容器將初始電納增加了j0.7，將我們從-j0.5移動到j0.2恒定電納弧。新的導納y2位于g=0.2恒定電導圓和b=0.2恒定電納電弧的交點處，如上圖所示。測量從原點到y(tǒng)2的矢量的長度和相位角，我們得到Γ2=0.68∠-23.5°.

如果我們在y2上添加第二個10 pF并聯(lián)電容器（C2=10 pF），新的導納y3是多少？新電容器使電納又增加了0.7。因此，我們最終到達點y3=0.2+j0.9，如下圖所示（圖6）。

圖6導納史密斯圓圖顯示，繼續(xù)添加更多并聯(lián)電容器會使導納沿恒定電導圓順時針移動

上述示例表明，通過繼續(xù)添加越來越多的并聯(lián)電容器，總導納沿恒定電導圓順時針方向移動。

示例2：掃描并聯(lián)電容器的值

如果我們將并聯(lián)電容器CP添加到y(tǒng)1=0.2-j0.5的歸一化負載導納中，并將電容器值從0掃到20pF，史密斯圓圖上的總導納輪廓是什么？

我們可以用前面例子的結(jié)果來回答這個問題。首先，用等效電路替換圖6的電路原理圖，如圖7所示。

圖7 替換圖6中等效電路的示例圖

可以看出，通過增加并聯(lián)電容器的值，總導納沿恒定電導圓順時針方向移動。

示例3：添加并聯(lián)電感器

并聯(lián)電感器的加入使導納的電納分量更負。例如，假設工作頻率為222.82 MHz，Y0=20 mS。如果我們將71.42 nH并聯(lián)電感器添加到y(tǒng)1=0.2-j0.5，歸一化電納分量將變化-j0.5：

這將我們移動到y(tǒng)2=0.2-j，如圖8所示。

圖8 史密斯圓圖顯示了添加并聯(lián)電感器時的偏移

該圖還顯示了添加另一個并聯(lián)電感器Lp2=0.5×71.42 nH=35.71 nH如何將歸一化電納降低j1，產(chǎn)生0.2-j2的等效歸一化導納?？梢钥闯?，添加越來越多的串聯(lián)電感器使我們沿著逆時針方向的恒定電導圓移動。如果我們用等效電路替換圖8的電路原理圖，我們得到以下等效圖（圖9）。

圖9 示例圖顯示了添加更多電感器并用等效電路替換圖8的電路原理圖

上圖顯示，如果我們減小并聯(lián)電感器的值，總導納將沿著相應的恒定電導圓逆時針移動。

示例4：并聯(lián)RC網(wǎng)絡的頻率掃描

接下來，讓我們看看并聯(lián)RC電路的導納如何隨頻率變化。假設R=25Ω，C=10pF，Y0=20mS。該并聯(lián)RC電路的歸一化導納為：

歸一化導納的實部為g=2。因此，該電路的導納在g=2的恒定電導圓上，電納始終為正。當頻率從直流掃到無窮大時，x從0變?yōu)?∞。因此，無論電容器的值如何，導納軌跡都包括g=2恒定電導圓的下半部分。

請注意，由于b隨頻率從0變?yōu)?∞，因此隨著頻率的增加，我們沿著圓順時針移動。圖10曲線中的青色曲線顯示了史密斯圓圖上的導納軌跡。

圖10史密斯圓圖上的導納軌跡

示例5：并行RL網(wǎng)絡的頻率掃描

如果我們將頻率從直流掃到無窮大，R=25Ω和L=30nH的并聯(lián)RL電路的導納輪廓是什么？

當Y0=20mS時，該RL網(wǎng)絡的導納位于g=2的恒定電導圓上。電敏感組件是$b=?\frac{1}{L\omega Y_0}$,，它總是負數(shù)。當頻率從直流掃到無窮大時，b從-∞變?yōu)?。因此，無論電感器的值如何，導納軌跡都包括g=2恒定電導圓的上半部分，如圖11所示。

圖11 史密斯圓圖顯示導納軌跡，包括g=2的上半部分

請注意，由于b隨頻率從-∞變?yōu)?，因此隨著頻率的增加，我們沿著圓順時針移動。

示例6:并行RLC網(wǎng)絡的頻率掃描

最后一個問題是，如果我們將頻率從直流掃到無窮大，R=25Ω，L=20nH，C=2pF的并聯(lián)RLC電路的導納輪廓是什么？

當Y0=20mS時，該并聯(lián)RLC網(wǎng)絡的導納位于g=2的恒定電導圓上。在諧振頻率fr下，電感器的電納抵消了電容器的電納，留下了純電阻導納。因此，在fr處，我們處于g=2恒定電導圓和史密斯圓圖水平對角線的交點處（圖12）。

圖12 史密斯圓圖顯示了g=2常數(shù)電導和史密斯圓圖水平對角線交點處的fr

低于fr，電感性電納的幅度大于電容性電納，因此電路是電感性的。這意味著對于0<f<fr，電路是電容性的，我們處于恒定電導圓的下半部分。另一方面，對于f>fr，電路是電容性的，我們處于恒定電導圓的下半部分。上述示例表明，隨著頻率的增加，導納輪廓始終沿順時針方向遵循恒定電導圓。

導納史密斯圓圖基礎(chǔ)概述

在給定的頻率下，并聯(lián)RLC電路可以用導納史密斯圓圖上的一個點來表示。如果掃頻，導納的虛部會發(fā)生變化，我們可以在史密斯圓圖上得到描述電路行為的導納輪廓。熟悉史密斯圓圖以識別哪種類型的電路配置可以產(chǎn)生給定的導納輪廓是很重要的。