滯后損耗：估計、建模和Steinmetz方程

磁滯效應(yīng)是鐵磁材料損耗的主要來源之一。在這篇文章中，我們學(xué)習(xí)了計算磁芯的磁滯損耗，并通過一些示例問題進(jìn)行了研究。

本系列的前一篇文章討論了磁芯的磁滯損耗與其B-H曲線之間的關(guān)系。我們將從演示如何使用B-H曲線面積來估計滯后損失開始這篇文章。然后我們將學(xué)習(xí)Steinmetz方程，這是一種估算損失的經(jīng)驗(yàn)方法。最后，我們將簡要討論如何在電感器和變壓器中建模磁滯損耗。

滯后損失與B-H曲線面積

磁滯效應(yīng)導(dǎo)致鐵磁材料的B-H曲線是多值的，從而產(chǎn)生獨(dú)特的磁滯曲線。使材料沿其磁滯曲線經(jīng)歷一個磁化周期需要與曲線內(nèi)面積成比例的工作量。在數(shù)學(xué)語言中，材料單位體積的滯后損失由下式給出：

方程式1。

其中積分是在磁滯回線的一個周期內(nèi)進(jìn)行的。為了減少磁滯損耗，我們使用由軟鐵磁材料制成的鐵芯，這些鐵芯具有較小的磁滯回線，表明它們每個周期的能量損失較低。

方程式1給出了一個周期的耗散能量。在交流激勵下，交流電流的頻率決定了芯材每秒循環(huán)通過磁滯回線的次數(shù)。由于功率是每單位時間的能量傳遞或轉(zhuǎn)換速率，因此在一個周期內(nèi)由于滯后而消耗的總功率為：

方程式2。

解釋：

f是操作頻率

Vc是核心的體積。

讓我們來看一個例子。

示例1：用平行四邊形估計滯后環(huán)

圖1顯示了假設(shè)材料的滯后曲線。注意到曲線類似于平行四邊形，讓我們估計一下：

每個周期每立方米的滯后損失。

50 Hz頻率下每m3的磁滯損耗。

磁性材料的磁滯曲線。它的形狀大致像一個平行四邊形。

圖1。磁性材料的磁滯曲線。

一個循環(huán)中損失的能量密度等于B-H曲線的面積。我們將通過繪制一個與B-H曲線大小匹配的平行四邊形來估算面積，而不是找到面積的確切值（圖2）。

圍繞滯后曲線繪制的綠色平行四邊形估計了曲線的面積。

圖2:綠色平行四邊形估計B-H曲線面積。

平行四邊形的底邊為10×10=100 A/m。其高度為2.75 T，使平行四邊形面積為275 J/m3。在50 Hz時，功率損耗密度為：

方程式3。

其中Acurve是曲線的估計面積。

矩形B-H回路磁滯損耗分析

為了更好地理解不同參數(shù)如何影響磁滯損耗，讓我們假設(shè)如下：

B-H曲線是矩形的。

它的工作點(diǎn)在原點(diǎn)。

由于操作點(diǎn)位于原點(diǎn)，因此該矩形的邊在正負(fù)方向上延伸得相等。因此，矩形的高度等于2Bm，底邊等于2Hm，其中Bm和Hm分別是通量密度和磁場強(qiáng)度的峰值。在這種情況下，磁滯回線面積（Acurve）等于4BmHm。

根據(jù)方程式2，滯后引起的總功率損失為：

方程式4。

其中μ0是自由空間的磁導(dǎo)率，μr是材料的相對磁導(dǎo)率。

假設(shè)磁滯曲線在一定通量密度范圍內(nèi)保持矩形，我們觀察到磁滯損耗的體積密度具有以下一般形式：

方程式5。

其中kh是磁滯損耗系數(shù)，這是一種可以從制造商的數(shù)據(jù)中找到的材料特性。對于2.5%硅鋼，kh為93.89瓦/（T2m3）。

在上述方程中，Bm是頻率f處正弦激勵的磁通密度峰值。方程5顯示了磁滯損耗的兩個重要特性：

磁滯損耗隨著信號頻率的升高而增加，因?yàn)殍F芯的磁疇在較高頻率下切換得更快。

滯后損耗隨著施加的信號電平而增加。

通過改寫方程4，我們可以揭示磁滯損耗的另一個性質(zhì)。假設(shè)電感器是一個具有N匝和長度l的螺線管，流過電感器的電流i產(chǎn)生磁場強(qiáng)度H=Ni/l。因此，方程4可以改寫為：

方程式6。

這個版本的方程使相對磁導(dǎo)率和磁滯損耗之間的關(guān)系更加清晰。

由于溫度的升高會增加原子的隨機(jī)熱運(yùn)動，這往往會使磁疇隨機(jī)化，因此許多材料的相對磁導(dǎo)率會隨著溫度的升高而降低。如方程式6所示，對于這些材料類型，磁滯損耗隨溫度降低。

示例2：計算螺線管的磁滯損耗

考慮具有以下特征的電磁閥：

總共10圈（N=10）。

橫截面積為100平方毫米（Ac=100平方毫米）。

長度為10厘米（lc=10厘米）。

假設(shè)該螺線管的鐵芯μr=2000，并呈現(xiàn)矩形磁滯曲線。如果施加的電流為

 I = 0.5sin(2π × 105 × t)

讓我們計算磁滯損耗和損耗的等效串聯(lián)電阻。

由于滯后曲線是矩形的，我們可以應(yīng)用方程式6。首先，我們來計算核心的體積：

方程式7。

然后，我們將這些值代入方程式6，得出：

方程式8。

為了找到產(chǎn)生與磁滯效應(yīng)相同功率損耗的等效串聯(lián)電阻，我們找到了當(dāng)振幅為0.5A的正弦電流通過時耗散25.13W的電阻：

方程式9。

這種串聯(lián)電阻消耗的功率與鐵芯的磁滯效應(yīng)相同。然而，正如我們將在本文稍后討論的那樣，鐵芯損耗通常被建模為與結(jié)構(gòu)電感并聯(lián)的電阻。

斯坦梅茨方程

如果我們假設(shè)B-H曲線是平行四邊形或矩形，我們發(fā)現(xiàn)磁滯損耗遵循方程5所示的一般形式。然而，經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，磁滯損耗密度實(shí)際上由下式給出：

方程式10。

其中n是Steinmetz指數(shù)，以美國數(shù)學(xué)家和電氣工程師Charles Proteus Steinmetz的名字命名。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得出的n值在約1.6至3的范圍內(nèi)。它取決于材料特性，通常針對特定范圍的通量密度值給出。

但是為什么Steinmetz方程表明能量損失與（Bm）n成正比，而不是與（Bm）2成正比？在推導(dǎo)方程4時，我們假設(shè)滯后曲線的形狀不隨施加的信號電平而變化。在實(shí)際操作中，情況通常并非如此。圖3顯示了當(dāng)我們逐漸增加激勵信號的幅度時鐵磁材料的磁化。

用于不斷增長的激勵信號的滯后回路。

圖3。用于不斷增長的激勵信號的滯后回路。

我們可以看到，磁滯回線的大小和形狀都會隨著施加磁場的大小而變化。此外，通量密度Bm的峰值不隨Hm線性增加。Steinmetz方程使用經(jīng)驗(yàn)確定的冪指數(shù)來解釋這些影響。

示例3：使用Steinmetz磁滯損耗方程

當(dāng)最大磁通密度為Bm1=1.5T，頻率為f1=50Hz時，磁性材料的磁滯功率損耗密度為ph1=13750W/m3。如果Steinmetz方程中的功率指數(shù)n=1.6，那么在f2=40 Hz時，Bm2=1 T的功率損耗密度是多少？

設(shè)新的功率損耗密度為ph2。根據(jù)方程式10，我們對兩個實(shí)驗(yàn)有以下關(guān)系：

方程式11。

插入上面給出的值，我們得到：

方程式12。

在我們離開這個話題之前，我想提幾件事。首先，B-H環(huán)路的面積——以及由此延伸的磁滯損耗——可能會隨著頻率的增加而增加。為了考慮這種影響，上述方程中的頻率（f）可以用fa代替，其中a大于1。

其次，可以指定Steinmetz方程的參數(shù)來解釋總鐵芯損耗，其中包括渦流和磁滯的損耗。在這種情況下，功率損耗密度方程為：

方程式13。

我們將在下一篇文章中更詳細(xì)地討論渦流損耗。

將鐵芯損耗建模為并聯(lián)電阻

注意到?=BA和i=Hl/N，我們可以重新縮放B-H曲線以獲得巖芯的981'-i曲線。對于沒有磁滯的B-H特性，由于B-H曲線的非線性，鐵芯中的正弦磁通量是由非正弦電流產(chǎn)生的。如圖4所示。

（a） 無磁滯鐵芯的磁化曲線。（b） 鐵芯的磁通量和磁化電流波形。

圖4。（a） 磁化曲線和（b）無磁滯效應(yīng)時的磁通量和磁化電流波形。

非正弦電流與磁通同相，具有對稱的上升和下降。電流波形的基波分量滯后電感器兩端的電壓90度，這對應(yīng)于理想的無損電感器。因?yàn)槲覀円婚_始假設(shè)鐵芯沒有滯后，所以這并不奇怪——沒有滯后損耗，繞組和鐵芯一起起著電感器的作用。

如圖5所示，考慮磁滯效應(yīng)會導(dǎo)致電流波形具有不對稱的上升和下降。

（a） 磁滯鐵芯的磁化曲線。（b） 鐵芯的磁通量和磁化電流波形。

圖5。（a） 磁化曲線和（b）存在磁滯效應(yīng)時的磁通量和磁化電流波形。

如您所見，在具有磁滯的鐵芯中保持正弦磁通量需要非正弦、不對稱的電流。該電流可分為兩個不同的分量：

Im，與理想的無損情況一樣，與通量同相。

Ic與電感器兩端的電壓同相。

Im使電感器兩端的電壓滯后90度，產(chǎn)生電感項(xiàng)。然而，Ic產(chǎn)生電阻項(xiàng)。由于總電流（I?）是這兩個分量的總和，因此繞組和鐵芯組合的等效電路是一個與電阻并聯(lián)的電感器，其中電阻模擬磁滯損耗（圖6）。

用于模擬鐵芯損耗的并聯(lián)電阻。

圖6。并聯(lián)電阻可用于模擬鐵芯損耗。

一般來說，并聯(lián)電阻（RC）可以解釋磁滯損耗和渦流損耗。同樣，我們通常通過與初級繞組并聯(lián)的頻率相關(guān)電阻來模擬變壓器的鐵芯損耗。

總結(jié)

在這篇文章和前一篇文章中，我們討論了磁芯中的磁滯損耗。下次，我們將仔細(xì)研究渦流損耗。鑒于本系列早期的一篇文章討論了渦流對磁芯的影響，我們現(xiàn)在將把注意力轉(zhuǎn)向原因、分析和緩解策略。