通向量子引力的路，又寬了一點點

二維共形場理論一直是重要的理論物理前沿研究工具之一，尤其是其中的劉維爾共形場理論，更是與量子引力存在著千絲萬縷的直接聯(lián)系。借助共形自舉方法，劉維爾共形場已經(jīng)可以非微擾的精確求解。然而，它的關(guān)鍵方程竟然是猜出來的，直至最近幾年，數(shù)學(xué)家才給了出嚴格的證明。數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家，對量子場論的深意又多了一點了解。

量子引力理論是物理學(xué)界公認的圣杯，一直吸引著我們這顆星球上最頂級的一批智慧頭腦為之不斷探索。如今聰慧的科學(xué)家早已能夠駕輕就熟地應(yīng)用量子理論和廣義相對論，乃至日常生活都能發(fā)現(xiàn)它們的身影，然而隱藏在這兩個理論背后的宇宙奧秘，卻仍然顯得那么渺遠難測。

2003 年的時候，美國物理學(xué)家，圈量子引力的奠基者之一，李?斯莫林（Lee Smolin）曾在他的科普著作《宇宙的本源》（Three Roads to Quantum Gravity）結(jié)尾處樂觀地展望：“到 2010 年，至多到 2015 年，我們應(yīng)該已經(jīng)擁有量子引力理論的基本框架…… 在擁有這個理論的 10 年之內(nèi)，能夠檢測它的新型實驗將會被發(fā)明出來…… 到 21 世紀末，全球的高中生都將學(xué)習(xí)引力的量子理論?！比缃窕赝?，斯莫林的預(yù)言顯然過于樂觀了。

也許最能體現(xiàn)量子理論與引力理論之間鴻溝的，就是宇宙暗能量這個概念。依照廣義相對論，加速膨脹的宇宙昭示著真空具有能量，也就是愛因斯坦方程中的“宇宙常數(shù)”不為零。同時依照量子場論，真空也具有非零的能量，這已經(jīng)被卡西米爾效應(yīng)（Casimir effect）實驗所證實。如此看來，兩個理論似乎都不約而同地給出了真空能量，然而實際上二者給出的數(shù)值相差了 120 個數(shù)量級！注意不是 120 倍，而是 120 個數(shù)量級，也就是 10120 倍。企圖用真空零點能解釋宇宙常數(shù)的努力，成了物理學(xué)中最離譜的猜測。

然而我們的宇宙不可能有兩種真空，于是“宇宙暗能量”這個概念就被提了出來，以彌合兩個理論對真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以稱之為“暗”，就是因為它既不在量子理論框架之內(nèi)，也不能由引力理論解釋。這個占據(jù)宇宙總能量 70% 的神秘缺口，或許只能等待未來的量子引力理論去縫合。

“降維打擊”

在探索量子引力的道路上，充滿了現(xiàn)有數(shù)學(xué)工具難以逾越的障礙，于是研究者們一邊努力構(gòu)建新工具，一邊也在嘗試簡化問題的迂回方法，二維模型就是最為常用的迂回手段之一。

將高維降至二維最顯而易見的好處，就是運算處理的大幅度簡化。比如，在二維平面內(nèi)，幾次轉(zhuǎn)動操作之間可以隨意地交換順序，最終的操作結(jié)果并不會因順序的改變而受到影響。而在三維或更高維的空間中，多個轉(zhuǎn)動操作之間不能隨意交換順序。可見二維空間比高維空間所受的限制更少，在處理復(fù)雜計算時可以騰挪的余地也就更大。

當(dāng)然轉(zhuǎn)動操作只是一個不入流的例子，研究者們真正青睞的是一種名為“共形變換（Conformal transformations）”的操作。這種操作也稱“保角變換”，顧名思義就是在扭曲變形的時候能夠保持任意兩條線的夾角不變。比如下圖所示的這個變換，就是個典型的共形變換。在變換之后，每根藍色線與每根紅色線仍然保持垂直。

如果你是第一次聽到“共形變換”這個名詞，也不要被這唬人的名字嚇到。看看上圖中那些彎曲的線條，是否讓你聯(lián)想到中學(xué)課本上的電場線和磁場線？再回想小時候用紙上的鐵屑顯示磁力線的那個小實驗。其實，當(dāng)你手握兩塊磁鐵隨意移動時，紙上那些鐵屑圖案的變化，正是一種共形變換。

物理學(xué)家在研究場的時候，非常需要共形變換的輔助。每一個共形變換中的不變量，本質(zhì)上都是一種對稱性的體現(xiàn)，就像鏡像反轉(zhuǎn)或空間平移的對稱性一樣。而對稱性正是物理學(xué)家最喜歡的內(nèi)容，每增加一個對稱性，物理學(xué)家就可以多寫出一條約束系統(tǒng)的方程。未知數(shù)的個數(shù)沒有增加，而方程的數(shù)量增加了，求解出答案的希望當(dāng)然也就隨之增加了。

各種共形變換和共形對稱性是如此的重要，以至于 CFT（共形場理論，Conformal field theory）已經(jīng)成為一門應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)科目。不僅在量子場論和引力理論中，而且在凝聚態(tài)物理和熱力學(xué)等理論中，都是不可或缺的重要工具。尤其是在 20 世紀末 Ads / CFT 對偶關(guān)系被發(fā)現(xiàn)之后，CFT 的重要程度又進一步提升。

雖然共形場不僅限于二維，但對急于求解方程的研究者來說，二維共形場無疑是最友善的對象。因為只有在二維面上，才有無限多種共形變換，而在更高維度的空間中，只能存在有限種共形變換，所以二維共形場所蘊含的威力尤為強大。有些情況下，研究者甚至可以拋開其他因素，僅依靠這些對稱性本身，就足以進行精確求解。

非微擾的求解方法

早在 20 世紀 70 年代，俄羅斯物理學(xué)家 Alexander Polyakov 就被二維共形場的強大威力所吸引，提出了一種全新的求解量子場的方法 —— 共形自舉（conformal bootstrap）。這種方法的基本思想，是把求解過程拆解為逐級爬樓梯。先選定一個三點結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)，然后再增加第四個點，繼而增加第五個點…… 這樣求解的過程表面看似繁瑣，實則卻解決了一個困擾專業(yè)人士已久的難題。

傳統(tǒng)求解量子場的基本思路，或直接或間接地繼承自古老的分析力學(xué)和經(jīng)典場論，即從拉格朗日量或者哈密頓量出發(fā)展開運算。其中用到的正則量子化和費曼路徑積分等技巧，也是以拉氏量和哈氏量為基礎(chǔ)。這套方法非常皮實耐用，許多關(guān)鍵環(huán)節(jié)已經(jīng)被古圣先賢們反復(fù)打磨鋪墊就緒，對后來者的我們來說，幾乎就剩下代入具體情況無腦傻算。

然而這個套路在量子場論中卻有個缺陷，那就是場之間的相互作用不能太強，最好是完全沒有相互作用的自由場。這就好比一套求解物體運動狀態(tài)的方法，其實只能求解勻速直線運動。當(dāng)處理勻速圓周運動時，就把那個垂直于運動方向的加速度當(dāng)作一個高階修正項補充進來。而如果遇到變速圓周運動，就得再補充更多的修正項。

這種補丁摞補丁的做法，專業(yè)術(shù)語上稱為“微擾”。意思就是說，把所有場間相互作用和其他約束條件，都看做對自由場的“微小擾動”，由此所產(chǎn)生的效果，都只體現(xiàn)在那些修正項中。顯然，當(dāng)我們遇到非常強的相互作用時，微擾方法就會失靈，不能提供符合實際情況的結(jié)論。

而前面提到的共形自舉方法，則是一種非微擾的套路，可以求解許多強耦合的量子場。在 20 世紀 80 年代初，Polyakov 和他的兩位合作者 Belavin 和 Zamolodchikov 共同發(fā)表了一篇重要論文，論文中給出了求解一系列二維共形場的框架，向研究者們展示出這一方法的強大力量。自此，以三位作者命名的 BPZ 方程，就成了 CFT 發(fā)展歷程中的一個里程碑。

從 N-1 個點邁向 N 個點的 BPZ 方程長成下面這個樣子：

看不懂也沒關(guān)系，本文也沒打算真的解釋這個方程的含義，列出這個方程純粹是為了滿足部分讀者的好奇心。順便顯擺作者使用搜索引擎的能力。

沿著 BPZ 方程所搭建的梯子，許多傳統(tǒng)微擾手段無法挖掘的寶藏，現(xiàn)在都可以用共形自舉來挖掘。在這些寶藏之中，有一個特殊的二維共形場與量子引力理論關(guān)系非常密切，它就是“劉維爾場（Liouville field）”。

作為一個二維共形場，劉維爾場當(dāng)然是個如假包換的量子場。同時，劉維爾場的經(jīng)典極限，又自然地給出愛因斯坦方程的二維版本。所以，劉維爾場自身就是一個漂亮的二維量子引力理論。不僅如此，劉維爾場還可以描述玻色弦在二維面內(nèi)的激發(fā)，從而可視為弦理論所構(gòu)建的量子引力模型中的一部分。另外，透過 Ads / CFT 對偶關(guān)系，劉維爾場還是一個三維彎曲時空內(nèi)的引力描述。

上面一段話可能會讓非理論物理專業(yè)的讀者有些暈頭轉(zhuǎn)向，其實拋開所有專業(yè)術(shù)語來說，就是與量子引力理論相關(guān)的許多項研究中，都會閃現(xiàn)劉維爾場的身影。所以我們憑感覺就會知道，這個劉維爾場必定與量子引力的關(guān)系非常密切。要想了解量子引力的更多秘密，劉維爾場肯定是個極有價值的切入口。

既然有共形自舉這個利器在手，劉維爾場的求解似乎唾手可得，可是這里面還有一個難題阻礙著研究的進展，那就是 BPZ 階梯起步的那個三點結(jié)構(gòu)必須精確表述，同時還得滿足一系列約束條件。如果只是用路徑積分和微擾方法來計算，就從源頭上失去了“非微擾”的主旨。然而這個結(jié)構(gòu)常數(shù)的尋找，卻頗費了一番力氣。直到 20 世紀 90 年代，才有兩組研究者不約而同地給出了確定這個結(jié)構(gòu)常數(shù)的公式。這個公式被命名為 DOZZ 公式，代表兩組研究者 Dorn、Otto 和 Zamolodchikov、Zamolodchikov。

這里沒有筆誤，后面兩位確實都姓 Zamolodchikov，其中一位就是 BPZ 中的那個“Z”，全名是 Alexander Zamolodchikov，另外一位是他的孿生兄弟 Alexei Zamolodchikov。順便提一句，BPZ 那三位雖然姓氏不同，但名字都叫 Alexander，也是挺有意思的巧合。

說回 DOZZ 公式，借助這個公式作為起點，研究者終于可以求解劉維爾場的關(guān)聯(lián)函數(shù)。但是這個 DOZZ 公式的來歷，還是令人不夠滿意。因為這個復(fù)雜的公式竟然不是被推導(dǎo)出來，而是被生生猜出來的，可謂繼承了頂級物理學(xué)家的優(yōu)良傳統(tǒng)。在 1996 年所發(fā)表的論文中，作者 Zamolodchikov 兄弟直接坦白地承認：

“需要強調(diào)的是，本節(jié)的論證與推導(dǎo)無關(guān)。這些更像是某種動力，我們將提出的表達式作為一種猜測，在隨后的章節(jié)里我們會嘗試證實這種猜測。這個猜測看起來十分自然，甚至可能被那些關(guān)注這個問題的人認為是顯而易見的。”

（ “It should be stressed that the arguments of this section have nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as a guess which we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” ）

如果不能從邏輯上嚴格推導(dǎo)出這個公式，就說明我們還沒有真正理解它的意義。即使它能在劉維爾場的具體計算上幫我們許多忙，但終究難以提供揭示物理世界本質(zhì)的作用。

于是，一些研究者又開始努力研究，試圖弄明白 DOZZ 公式到底能從哪個角度推導(dǎo)出來。這項任務(wù)的難度超出了許多人的預(yù)期，在 DOZZ 公式提出后的十多年里，一直沒有明顯的進展。直到 2014 年之后的幾年間，才陸續(xù)出現(xiàn)了幾篇論文成果。

這些近幾年得到的 DOZZ 公式證明過程，都頗具跨界味道，使用了概率論方面的語言和工具，主要包括 GMC（Gaussian Multiplicative Chaos，高斯倍乘混沌）和 GFF（Gaussian Free Field，高斯自由場）。

從這些證明中，我們也收獲了許多新的認識。原本以為隨機漲落導(dǎo)致的引力場自身強耦合，必然無法與路徑積分調(diào)和，然而借助一些來自概率論的工具，竟然可以將那些漲落的毛刺打磨得足夠光滑，并順利地兼容路徑積分。

當(dāng)然，物理學(xué)家們的目標絕不僅僅是馴服二維平面內(nèi)那些野蠻漲落的引力，而是攜馴服經(jīng)驗和工具出征，正面迎擊真實時空中的引力。

附：DOZZ 公式的樣子：

其中是一種由多重伽馬函數(shù)定義的函數(shù)，比較省紙的寫法是

更直觀的寫法是

這么復(fù)雜的公式居然是靠感覺猜出來的！這是多么強大的直覺！

參考文獻

• [1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula". arXiv:1707.08785 [math.PR].

• [2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]

• [3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136