推論先天八卦與整數(shù)樹

當(dāng)前快速發(fā)展的信息化引發(fā)的信息爆炸，使計(jì)算機(jī)軟、硬件的處理能力已接近極限。原因是我們所使用的計(jì)算機(jī)是為處理線性數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的，對(duì)非線性數(shù)據(jù)一直是通過(guò)轉(zhuǎn)換來(lái)處理。隨著計(jì)算機(jī)要處理的非線性數(shù)據(jù)的增加，必然會(huì)使計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力不斷下降。

今后大范圍的云計(jì)算、物聯(lián)網(wǎng)，乃至智慧地球的應(yīng)用中的無(wú)限天量非線性數(shù)據(jù)處理的需求，促使計(jì)算機(jī)軟、硬件在提高非線性數(shù)據(jù)的處理能力上創(chuàng)新。

計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的基本操作是將數(shù)據(jù)按一定算法程序，在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)內(nèi)的不同存儲(chǔ)單元間移動(dòng)。數(shù)據(jù)移動(dòng)的速度決定計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的能力。因此，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)是提高計(jì)算機(jī)軟、硬件的數(shù)據(jù)處理能力的核心技術(shù)。又因，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，發(fā)明或發(fā)現(xiàn)新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，將是提高數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的探索方向。

北斗時(shí)空碼采用北京乾坤化物數(shù)字技術(shù)有限公司的自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的“IP地址結(jié)構(gòu)樹的構(gòu)建方法”發(fā)明專利建立的索引系統(tǒng)能夠快速提供無(wú)限天量編碼，就是在發(fā)現(xiàn)源于先天八卦的整數(shù)樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，做了進(jìn)一步創(chuàng)新后實(shí)現(xiàn)的。

一、以往看先天八卦與數(shù)

先天八卦是中國(guó)寶貴的歷史文化遺產(chǎn)。相傳先天八卦是由中華民族的先祖伏羲畫的。由于沒(méi)有文字記錄，對(duì)先天八卦的來(lái)歷無(wú)從考證。但是，幾千年來(lái)，對(duì)先天八卦的含意，人們從各種學(xué)科角度進(jìn)行了一代一代的不懈研究，得出了后天八卦、易經(jīng)等許多富有哲理的深?yuàn)W結(jié)果，有些推論至今還有很大影響。

 圖1： 先天八卦圖

先天八卦是圖1圓圈外用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”兩種連和斷的橫線，以三層不同組合的八種卦的圖形排列的圓形圖案。圓圈內(nèi)的文字是后人研究先天八卦賦給的每個(gè)卦的卦名。圓圈是為能明確分隔卦與卦名加畫的，沒(méi)有含意。

從數(shù)學(xué)角度看，古人對(duì)先天八卦產(chǎn)生的最有意義的推論是：太極生兩儀：陽(yáng)儀、陰儀；兩儀生四象：太陽(yáng)、少陰、少陽(yáng)、太陰；四象生八卦：乾、兌、離、震、巽、坎、艮、坤；八卦生無(wú)窮。此推論是一種從哲學(xué)角度解說(shuō)世界是從無(wú)到太極，從太極開始生兩儀，并按一分為二方式不斷分裂產(chǎn)生的。

圖2：太極產(chǎn)生先天八卦圖

古人對(duì)太極產(chǎn)生的八卦又分別注上八個(gè)數(shù)字，即為：乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。由此，指出八卦圖中相對(duì)應(yīng)的兩卦：乾坤、兌艮、離坎、震巽卦的和都是九。

德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)明二進(jìn)制后，有人將先天八卦中的陽(yáng)爻“—”定義為1，將陰爻“- -”定義為0；然后將先天八卦的八個(gè)卦分別注上二進(jìn)制，即：乾為0：000、兌為1：001、離為2：010、震:為3：011、巽4:100、坎5：101、艮6:110、坤為7：111。也指出用二進(jìn)制定義八卦后，八卦圖中相對(duì)應(yīng)兩卦：乾坤、兌艮、離坎、震巽卦的和都是7：111。

近代，數(shù)學(xué)家用a表示先天八卦中的陽(yáng)爻“—”，用b代表陰爻“- -”，然后代入(a＋b)的n次自乘的牛頓二項(xiàng)式公式，準(zhǔn)確推論出太極生八卦、八卦生無(wú)窮的每次生卦的數(shù)量和卦的組合狀態(tài)。經(jīng)論證，可以看到先天八卦的生卦與二項(xiàng)式公式完全吻合，不盡讓人另眼看先天八卦深?yuàn)W的數(shù)學(xué)含義。

二、另眼看先天八卦與數(shù)

用數(shù)字一至八表示先天八卦中的每個(gè)卦，還是用二進(jìn)制000至111表示先天八卦中的每個(gè)卦都是人為的定義，不一定代表原畫卦者的初衷。數(shù)字0的出現(xiàn)和廣泛使用是在12世紀(jì)，因此，將先天八卦中的陰爻“- -”看做為0進(jìn)行推論，不符合歷史實(shí)際。

由于用數(shù)字一至八或用二進(jìn)制數(shù)000至111表示先天八卦中的每個(gè)卦，都是在人為的，或靜態(tài)的看先天八卦，不能將每個(gè)卦之間的客觀關(guān)系和每次生卦的動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)關(guān)系表示出來(lái)。因此，在數(shù)學(xué)上一直沒(méi)能對(duì)先天八卦進(jìn)行更深的推論。再加上一些古人推論八卦與觀測(cè)星象、預(yù)告未來(lái)等有關(guān)，但因其中許多推論與現(xiàn)代科學(xué)不符，越來(lái)越不被世人信服，反使先天八卦日益受到冷落。

世間的創(chuàng)新，首先是思路和方法的創(chuàng)新。以往對(duì)先天八卦的數(shù)學(xué)探討，都是先在主觀上定個(gè)假設(shè)，再進(jìn)行推論，沒(méi)看到先天八卦的實(shí)質(zhì)。即然畫出先天八卦的時(shí)代還沒(méi)有文字，不仿將爻的圖示簡(jiǎn)單地進(jìn)行直觀：將先天八卦中的陽(yáng)爻“—”還看做1，將陰爻“- -”就看做2，再觀太極生八卦圖就會(huì)產(chǎn)生新的思路。

圖3：另眼看太極生八卦圖

圖3與圖2是一樣的太極生八卦圖，只是將圖2中的二儀、四象和八卦的文字標(biāo)識(shí)去掉，改注了數(shù)字。圖3中的二儀、四象和八卦的上部標(biāo)的是十進(jìn)制數(shù)，下部標(biāo)識(shí)的是將二儀、四象和八卦的陽(yáng)爻“—”替代為1，陰爻“- -”替代為2的對(duì)應(yīng)一組數(shù)字表示符。從圖3中，可以看到用1和2標(biāo)識(shí)陽(yáng)爻和陰爻是非常直觀和清晰，也許更客觀地貼近畫先天八卦者的思想。圖4是用1和2對(duì)應(yīng)標(biāo)識(shí)陽(yáng)爻和陰爻的先天八卦圖。

三、二的冪次方進(jìn)制數(shù)

為進(jìn)一步推論先天八卦中的數(shù)字關(guān)系，將圖3中每個(gè)二儀、四象和八卦的下部替代陽(yáng)爻“—”為1，陰爻“- -”為2的對(duì)應(yīng)一組數(shù)字表示符，以及圖4中對(duì)應(yīng)各卦的由1和2組合的一組數(shù)字表示符，定義為是二的冪次方進(jìn)制數(shù)。

表1是十進(jìn)制1至16與對(duì)應(yīng)二進(jìn)制、二的冪次方進(jìn)制數(shù)對(duì)照表。 

表1：十進(jìn)制1至16與對(duì)應(yīng)二進(jìn)制、二的冪次方進(jìn)制數(shù)對(duì)照

二的冪次方進(jìn)制數(shù)是一種新的計(jì)數(shù)方法，它由兩個(gè)基本數(shù)字符號(hào)1，2組成（也可以規(guī)定為0和1或A或B等）。二的冪次方進(jìn)制數(shù)還有一個(gè)字符：0 （也可以規(guī)定為3或C等），用于表示第三種狀態(tài)，如：相等、起始、高阻態(tài)等。在二的冪次方進(jìn)制數(shù)中，0不用于表示數(shù)，但做為正、負(fù)整數(shù)樹的起點(diǎn)（根）存在。如同太極，無(wú)形無(wú)質(zhì)，無(wú)聲無(wú)臭；可是它有神有氣，有靈有顯，可以無(wú)中生有。

 圖4 ：用1和2對(duì)應(yīng)標(biāo)的先天八卦圖

二的冪次方進(jìn)制數(shù)計(jì)數(shù)規(guī)律是滿二的冪次方值時(shí)向上位進(jìn)一，且進(jìn)位位恢復(fù)系數(shù)為1。為符合人們?nèi)粘ＪM(jìn)制運(yùn)算習(xí)慣，我們將二的冪次方進(jìn)制數(shù)中，用數(shù)字符號(hào)1直接表示整數(shù)1，用數(shù)字符號(hào)2直接表示整數(shù)2，可使這二個(gè)數(shù)字符號(hào)的表示與十進(jìn)制的整數(shù)1和2相同。整數(shù)3以后的整數(shù)也用1或2兩數(shù)字符號(hào)表示。如：整數(shù)3將產(chǎn)生進(jìn)位，用兩位數(shù)字符號(hào)11表示，整數(shù)4不產(chǎn)生進(jìn)位，用兩位數(shù)字12表示，整數(shù)5產(chǎn)生進(jìn)位，用2位數(shù)字21表示，整數(shù)6不產(chǎn)生進(jìn)位，用兩位數(shù)字22表示，整數(shù)7產(chǎn)生兩次進(jìn)位，用三位數(shù)字111表示……。由此可以看到：二的冪次方進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)N位整數(shù)Z的表示應(yīng)為：

           Z= X(N)X(N-1) …X(N-N+3)X(N-N+2)X(N-N+1)X(N-N)

其中，X={1,2}，X數(shù)字符號(hào)，N={0,1,2…}, N是位數(shù)。

每個(gè)整數(shù)在二的冪次方進(jìn)制數(shù)中僅表示出每位的數(shù)字符號(hào)，省略了每位對(duì)應(yīng)的數(shù)位的權(quán)，即二的冪。這與十進(jìn)制、二進(jìn)制和十六進(jìn)制等數(shù)字表示時(shí)省略數(shù)位的權(quán)一樣。^注1

圖3中的二儀、四象和八卦的上部標(biāo)的十進(jìn)制數(shù)就是每個(gè)二儀、四象和八卦的二的冪次方進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。圖5是用十進(jìn)制數(shù)標(biāo)識(shí)的先天八卦圖。

 圖5：用十進(jìn)制標(biāo)識(shí)的先天八卦圖

從圖5中也可以看到用十進(jìn)制表示先天八卦中各卦后，八卦圖中相對(duì)應(yīng)兩卦：乾坤、兌艮、離坎、震巽卦的和都是十進(jìn)制數(shù)21。還可以看到從乾卦逆時(shí)針的乾、兌、離、震四卦對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)7、11、9、13都是奇整數(shù)，從巽卦開始順時(shí)針的巽、坎、艮坤四卦對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)8、12、10、14都是偶整數(shù)。這是從先天八卦轉(zhuǎn)換出來(lái)的非常有創(chuàng)新意義的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

四、二的冪次方進(jìn)制數(shù)標(biāo)識(shí)八卦生無(wú)窮

二的冪次方進(jìn)制數(shù)是將古人用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”兩個(gè)符號(hào)表述：無(wú)極生太極、太極生二儀、二儀生四象、四象生八卦、八卦生無(wú)窮的生變過(guò)程，用現(xiàn)代人習(xí)慣的用1代替陽(yáng)爻“—”，用2代替陰爻“- -”后再次標(biāo)識(shí)產(chǎn)生，與古人用爻表示是一一對(duì)應(yīng)的。因此，二的冪次方進(jìn)制數(shù)不是新發(fā)明，僅用新符號(hào)表示先前已存在的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

從圖2、圖3中可以看到太極生八卦圖是以太極為根的二叉樹。由太極生出兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)：奇數(shù)結(jié)點(diǎn)和偶數(shù)結(jié)點(diǎn) 分別為二儀。用陽(yáng)爻“—”表示奇數(shù)結(jié)點(diǎn)陽(yáng)儀，用陰爻“- -”表示偶數(shù)結(jié)點(diǎn)陰儀。再生變，兩儀又做父結(jié)點(diǎn)，各生出兩節(jié)點(diǎn)分別為四象。再生變，四象又做父結(jié)點(diǎn)，各生出兩節(jié)點(diǎn)分別為八卦。然后再生變，八八生六十四卦，乃至可生出無(wú)窮。將此種結(jié)構(gòu)的二叉樹，定義為整數(shù)二叉樹。圖6為古人的六十四卦圖。

圖6：六十四卦圖

用1代替a，用2代替b，并且n=1、2、3……，展開二項(xiàng)式公式(a+b)ⁿ可得到如下結(jié)果：

(a+b)¹=(1+2)¹=1+2

(a+b)²=(1+2)²=(1+2) (1+2)=11+21+12+22

(a+b)³=(1+2)³=(1+2)²(1+2)=( 11+21+12+22) (1+2)

=111+211+121+221+112+212+122+222

…………

   將上述每次二項(xiàng)式公式展開得到的數(shù)，看做是二的冪次方進(jìn)制數(shù)，將第1式展開數(shù)1、2擺在上層，再將后兩式展開數(shù)，依此按層向下排列如下：

用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”分別代替展開結(jié)果中各項(xiàng)的1和2。然后將替代后的每個(gè)爻的組合，按最左側(cè)爻在上，最右側(cè)爻在下的順序排，就可看到與圖3：古代太極生兩儀、兩儀生四象、四象生八卦相同圖。由此，可以證明二的冪次方進(jìn)制數(shù)與先天八卦的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖7是用二的冪次方進(jìn)制數(shù)和對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)表示的六十四卦圖。

  圖7：用二的冪次方進(jìn)制數(shù)和對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)表示的六十四卦

將圖7最外層每個(gè)二的冪次方進(jìn)制數(shù)與圖6中六十四卦所對(duì)應(yīng)的每個(gè)卦相比較，可以看到都是一一對(duì)應(yīng)相同的。只是用1或2表示，還是用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”表示的不同。

從圖7中的中心園的1和2到最外層圓的各二的冪次方進(jìn)制數(shù)是按一生二的規(guī)則生變的，而且非常簡(jiǎn)單。每個(gè)奇數(shù)子結(jié)點(diǎn)的二的冪次進(jìn)制數(shù)是其父結(jié)點(diǎn)二的冪次方進(jìn)制數(shù)前放置1產(chǎn)生，每個(gè)偶數(shù)數(shù)子結(jié)點(diǎn)的二的冪次進(jìn)制數(shù)是其父結(jié)點(diǎn)二的冪次方進(jìn)制數(shù)前放置2產(chǎn)生。這與用爻表示太極生二儀、二儀生四象、四象生八卦、八卦生無(wú)窮的生變過(guò)程：即每生變一次結(jié)果是在生變前的用爻表示的圖形上添畫一個(gè)陽(yáng)爻“—”產(chǎn)生左邊（奇數(shù)）子圖形，添畫一個(gè)陰爻“- -”產(chǎn)生右邊（偶數(shù)）子圖形是完全一樣的。用二的冪次方進(jìn)制數(shù)標(biāo)識(shí)太極生八卦、八卦生無(wú)窮會(huì)更直觀。

引入二的冪次方進(jìn)制數(shù)的更重要意義是，可以用數(shù)學(xué)計(jì)算與先天八卦生變過(guò)程對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：整數(shù)二叉樹。

五、先天八卦揭示的整數(shù)二叉樹

將圖3太極生八卦圖中的太極用0代替，并將二儀、四象和八卦圖形去掉，再多生變一次（多顯示一層整數(shù)二叉樹），可得到圖8所示的整數(shù)二叉樹最頂?shù)乃膶咏Y(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

圖8：用二的冪次方進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制表示的四層整數(shù)二叉樹

圖8中圓圈為整數(shù)二叉樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)，圓圈內(nèi)上部數(shù)字為用二的冪次方進(jìn)制數(shù)表示出的整數(shù)的結(jié)點(diǎn)代碼，下部數(shù)字為與結(jié)點(diǎn)代碼對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制整數(shù)。字母N表示整數(shù)樹的層數(shù)，字母R表示各父結(jié)點(diǎn)與子結(jié)點(diǎn)的差值。

整數(shù)二叉樹最頂?shù)母附Y(jié)點(diǎn)是整數(shù)二叉數(shù)的根，其結(jié)點(diǎn)代碼和對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)都為0。由根的父結(jié)點(diǎn)生長(zhǎng)（生變）出二個(gè)子結(jié)點(diǎn)1和2結(jié)點(diǎn)，由此不斷生長(zhǎng)，長(zhǎng)成無(wú)限層的整數(shù)二叉樹。

整數(shù)二叉樹上每個(gè)子結(jié)點(diǎn)值的生長(zhǎng)公式為M_N+1 = M_N + X*2^N，這是一個(gè)遞歸方程式，其中X={1,2}，X是數(shù)字符號(hào)，代表整數(shù)二叉樹的2個(gè)子結(jié)點(diǎn)數(shù)。N={0,1,2,…}, N是整數(shù)分布的層數(shù)，M_N 為第N層一個(gè)父結(jié)點(diǎn)的整數(shù)值，M_N+1 是要計(jì)算出的M_N的子結(jié)點(diǎn)整數(shù)值。當(dāng)N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數(shù)二叉樹的開始，對(duì)于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子整數(shù)有并且必須有2個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*2^N，M_N+1 = M_N + 2*2^N。

從圖8中可以看到整數(shù)二叉樹有以1為父結(jié)點(diǎn)的全部各層結(jié)點(diǎn)都為奇數(shù)的子結(jié)點(diǎn)分叉樹和以2為父結(jié)點(diǎn)的全部各層結(jié)點(diǎn)都為偶數(shù)的子結(jié)點(diǎn)分叉樹。這是整數(shù)二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的重要特點(diǎn)。理論上整數(shù)二叉樹還應(yīng)有負(fù)奇數(shù)和負(fù)偶數(shù)兩個(gè)分叉樹，在此不做推論。

從整數(shù)二叉樹的圖8中可以明顯看到一些規(guī)律：

1、整數(shù)按奇數(shù)和偶數(shù)有規(guī)則地組成為兩個(gè)分叉樹。

2、每層的結(jié)點(diǎn)數(shù)為2^N個(gè)，N為層數(shù)。

3、每個(gè)父結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)：奇數(shù)子結(jié)點(diǎn)和偶數(shù)子結(jié)點(diǎn)。父結(jié)點(diǎn)與奇數(shù)子結(jié)點(diǎn)間的差值R= 2 ^N，與偶數(shù)子結(jié)點(diǎn)的差值R=2* 2 ^N，N為父結(jié)點(diǎn)的層數(shù)。

4、兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)之間差值為父結(jié)點(diǎn)與奇數(shù)結(jié)點(diǎn)的差值R=2 ^N，N為父結(jié)點(diǎn)的層數(shù)。

5、每層各結(jié)點(diǎn)的二的冪進(jìn)制數(shù)結(jié)點(diǎn)代碼的位數(shù)都等于該層的層數(shù)N。

6、每層各結(jié)點(diǎn)的二的冪進(jìn)制數(shù)結(jié)點(diǎn)代碼值都等于該結(jié)點(diǎn)十進(jìn)制整數(shù)值。

7、每層各結(jié)點(diǎn)的二的冪進(jìn)制數(shù)結(jié)點(diǎn)代碼和對(duì)應(yīng)十進(jìn)制整數(shù)值的位置固定不變等等。

對(duì)整數(shù)二叉樹進(jìn)行深入的研究，會(huì)對(duì)整數(shù)產(chǎn)生更多的認(rèn)識(shí)和新的算法。支撐北斗時(shí)空碼的無(wú)限天量編碼可通過(guò)快速計(jì)算產(chǎn)生存儲(chǔ)地址的索引系統(tǒng)的核心技術(shù)，主要源自上述整數(shù)二叉樹的規(guī)律。

例如，要對(duì)整數(shù)28進(jìn)行存取的操作，先將28通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)換成二的冪次方進(jìn)制數(shù)（注1）2212，實(shí)際2212已是28的存取地址碼。然后可采用多種方法可找出存取28的結(jié)點(diǎn)。方法一是通過(guò)2212可知28存取得結(jié)點(diǎn)在整數(shù)二叉樹的第4層，直接到該層用某種算法去找。方法二是從28算出的二的冪次方進(jìn)制數(shù)2212的最右側(cè)（最低位）數(shù)開始，逐位判別是1還是2，決定從根結(jié)點(diǎn)0開始判別位是1向左下行至下一層結(jié)點(diǎn)，是2向右下行至下一層結(jié)點(diǎn)，以此類推，一個(gè)整數(shù)計(jì)算得出幾位二的冪次方進(jìn)制數(shù)就判轉(zhuǎn)幾次，最后到達(dá)的結(jié)點(diǎn)必是要找的結(jié)點(diǎn)。

繼續(xù)以2212為例，從根結(jié)點(diǎn)開始，因2212最右數(shù)為2，要先右下行一層，2212的右數(shù)第二數(shù)為1，再左下行一層，然后2212右數(shù)第3和第4數(shù)都為2，再連續(xù)右下行兩層，就到整數(shù)28要存取的結(jié)點(diǎn)（圖8中第四層的從左數(shù)第12個(gè)結(jié)點(diǎn)），此結(jié)點(diǎn)永遠(yuǎn)是存取28這一整數(shù)的結(jié)點(diǎn)。

客觀存在的事實(shí)是：無(wú)論多大和多小的整數(shù)，在整數(shù)二叉樹上都固定有自己對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)。此結(jié)點(diǎn)的地址碼就是該整數(shù)的二的冪次方進(jìn)制數(shù)。

六、整數(shù)無(wú)窮叉樹與無(wú)窮冪次方進(jìn)制數(shù)

數(shù)學(xué)源于自然數(shù)的計(jì)數(shù)。數(shù)學(xué)的發(fā)展，在自然數(shù)的基礎(chǔ)上陸續(xù)派生出整數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)等等。整數(shù)是目前用的最多的數(shù)。整數(shù)是公差為1的整數(shù)等差數(shù)列，也可看做整數(shù)一叉樹。如圖9所示：

圖9：整數(shù)一叉樹    

 整數(shù)一叉樹的層數(shù)N=0、1、2、3、4……，每層結(jié)點(diǎn)數(shù)為1^N，都是1個(gè)。各結(jié)點(diǎn)的差值R=1^N，也都為1。子結(jié)點(diǎn)的生長(zhǎng)公式為M_N+1 = M_N + X*1^N。式中M_N為M_N+1的父結(jié)點(diǎn)，N=0時(shí)M_N為0，X為子結(jié)點(diǎn)數(shù)，此處為1。對(duì)于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子結(jié)點(diǎn)有并且必須有1個(gè)。

 圖10是用十進(jìn)制數(shù)表示的整數(shù)二叉樹。圖中N=3層用深色底標(biāo)出的八個(gè)結(jié)點(diǎn)中的數(shù)，就是先天八卦排列的八個(gè)卦對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。從圖中可以清楚地看到先天八卦在整數(shù)二叉樹上的位置。

圖10：用十進(jìn)制數(shù)表示的整數(shù)二叉樹

整數(shù)二叉樹用于數(shù)據(jù)存取地址索引的方法，在數(shù)據(jù)量少時(shí)，顯不出優(yōu)勢(shì)。但是在數(shù)據(jù)量很大時(shí)索引速度還不會(huì)很快。這是因?yàn)椋?/span>N層整數(shù)二叉樹上的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)Z的計(jì)算公式為：Z=2*2^N -1。如果事先知道要處理的最大整數(shù)值時(shí)，用此公式可算出至少需要多少層的整數(shù)二叉樹。當(dāng)整數(shù)二叉樹層過(guò)多時(shí)，用在整數(shù)二叉樹的查找方法，查找整數(shù)Z的速度會(huì)較慢。

可以推論：整數(shù)以一叉樹、二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)排列外，同樣可以按多叉數(shù)，乃至無(wú)窮叉樹排列，而且各個(gè)叉樹的特點(diǎn)和規(guī)律相同。圖11是整數(shù)三叉樹的上三層各結(jié)點(diǎn)排列圖。

圖11：整數(shù)三叉樹的上三層各結(jié)點(diǎn)排列

整數(shù)三叉樹上每個(gè)子結(jié)點(diǎn)值的生長(zhǎng)公式為M_N+1 = M_N + X*3^N，其中X={1,2，3}，X是數(shù)字符號(hào)，代表整數(shù)三叉樹的3個(gè)子結(jié)點(diǎn)數(shù)。N={0,1,2,…}, N是整數(shù)分布的層數(shù)，M_N 為第N層一個(gè)父結(jié)點(diǎn)的整數(shù)值，M_N+1 是要計(jì)算出的M_N的子結(jié)點(diǎn)整數(shù)值。當(dāng)N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數(shù)三叉樹的開始，對(duì)于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子結(jié)點(diǎn)有并且必須有3個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*3^N，M_N+1 = M_N + 2*3^N，M_N+1 = M_N + 3*3^N。

圖12是整數(shù)四叉樹的上三層各結(jié)點(diǎn)排列圖。

整數(shù)四叉樹上每個(gè)子結(jié)點(diǎn)值的生長(zhǎng)公式為M_N+1 = M_N + X*4^N，其中X={1,2，3，4}，X是數(shù)字符號(hào)，代表整數(shù)三叉樹的4個(gè)子結(jié)點(diǎn)數(shù)。N={0,1,2,…}, N是整數(shù)分布的層數(shù)，M_N 為第N層一個(gè)父結(jié)點(diǎn)的整數(shù)值，M_N+1 是要計(jì)算出的M_N的子結(jié)點(diǎn)整數(shù)值。當(dāng)N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數(shù)四叉樹的開始，對(duì)于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子結(jié)點(diǎn)有并且必須有4個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*4^N，M_N+1 = M_N + 2*4^N，M_N+1 = M_N + 3*4^N，M_N+1 = M_N + 4*4^N。

圖12：整數(shù)四叉樹的上三層各結(jié)點(diǎn)排列

    以整數(shù)三叉樹和四叉樹產(chǎn)生為例，可以得到整數(shù)五叉樹、六叉樹……Y叉樹，直至無(wú)窮叉樹。

同樣以二的冪次方進(jìn)制數(shù)引入方式，可以引入三的冪次方進(jìn)制數(shù)、四的冪次方進(jìn)制數(shù)……Y的冪次方進(jìn)制數(shù)，直至無(wú)窮的冪次方進(jìn)制數(shù)。

表2是十進(jìn)制1至16與對(duì)應(yīng)三的冪次方進(jìn)制數(shù)和四的冪次方進(jìn)制數(shù)對(duì)照表。      

表2：十進(jìn)制1至16與對(duì)應(yīng)三和四的冪次方進(jìn)制數(shù)對(duì)照

七、結(jié)論

一、由先天八卦的生變過(guò)程推導(dǎo)出的整數(shù)二叉樹是整數(shù)的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

二、除整數(shù)二叉樹外還有從一叉樹到無(wú)窮叉樹，統(tǒng)稱整數(shù)樹或整數(shù)森林。

三、整數(shù)森林中任何一個(gè)Y叉樹都有無(wú)窮多個(gè)結(jié)點(diǎn)。

四、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹第N層及其上面各層的結(jié)點(diǎn)總數(shù)Z=2*Y^N -1。

五、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹都有一個(gè)與其所有結(jié)點(diǎn)位置相對(duì)應(yīng)的Y的冪次方進(jìn)制數(shù)。

六、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上每個(gè)子結(jié)點(diǎn)值的生長(zhǎng)公式為M_N+1 = M_N + X*Y^N，其中X={1,2，3……Y}，X是數(shù)字符號(hào)，代表整數(shù)Y叉樹的Y個(gè)子結(jié)點(diǎn)數(shù)。N={0,1,2,…}, N是整數(shù)分布的層數(shù)，M_N 為第N層一個(gè)父結(jié)點(diǎn)的整數(shù)值，M_N+1 是要計(jì)算出的M_N的子結(jié)點(diǎn)整數(shù)值。當(dāng)N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數(shù)Y叉樹的開始，對(duì)于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子整數(shù)有并且必須有一個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*Y^N，M_N+1 = M_N + 2*Y^N……M_N+1 = M_N + Y*Y^N。

七、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上每層的結(jié)點(diǎn)數(shù)為Y^N個(gè)，N為層數(shù)。

八、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上每個(gè)父結(jié)點(diǎn)有Y個(gè)子結(jié)點(diǎn)。父結(jié)點(diǎn)與第1子結(jié)點(diǎn)間的差值R= Y ^N，與第2子結(jié)點(diǎn)的差值R=2* Y^N，……與第Y個(gè)子結(jié)點(diǎn)的差值R=Y* Y ^N， N為父結(jié)點(diǎn)的層數(shù)。

 九、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)之間差值為父結(jié)點(diǎn)與第1子結(jié)點(diǎn)的差值R=Y ^N，N為父結(jié)點(diǎn)的層數(shù)。

十、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上每層各結(jié)點(diǎn)的Y的冪進(jìn)制數(shù)結(jié)點(diǎn)代碼的位數(shù)都等于該層的層數(shù)N。

十一、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上每層各結(jié)點(diǎn)的Y的冪進(jìn)制數(shù)結(jié)點(diǎn)代碼值都等于該結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制整數(shù)值。

十二、任何一個(gè)整數(shù)Y叉樹上每層各結(jié)點(diǎn)的Y的冪進(jìn)制數(shù)結(jié)點(diǎn)代碼和對(duì)應(yīng)十進(jìn)制整數(shù)值的位置固定不變等等。

不斷研究和應(yīng)用整數(shù)無(wú)窮叉樹的特性和規(guī)律，選用適合的某一整數(shù)多叉樹，可以對(duì)大數(shù)據(jù)、無(wú)窮天量數(shù)據(jù)進(jìn)行快速管理。

幾千年來(lái)，人類對(duì)整數(shù)一叉樹的研究中，逐步建立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)。一葉先天八卦，揭示整數(shù)森林。邁入整數(shù)森林，能否尋找到未來(lái)數(shù)學(xué)寶藏，還需更多人去探索。

注1：在網(wǎng)上可查閱“用整數(shù)樹的研究成果  探索軟件的創(chuàng)新發(fā)展”一文。