精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips（2）：數(shù)學(xué)的作用

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號(hào)與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司 無線通信部門，擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗芯浚抡骝?yàn)證，以及對(duì)應(yīng)的硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)能力；具備通信物理層開發(fā)設(shè)計(jì)各個(gè)方面的實(shí)戰(zhàn)經(jīng) 驗(yàn)...

　　精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps（2）：數(shù)學(xué)的作用

　　對(duì)于工科專業(yè)的工程師來說，數(shù)學(xué)到底是否有用？有多大用？都干什么用？相信是很多人曾經(jīng)考慮和關(guān)心的問題。結(jié)合電子工程方向，對(duì)此稍作討論，跟大伙交流。

　　對(duì)于電子工程方向，一般在大學(xué)會(huì)先后學(xué)習(xí)這么幾門數(shù)學(xué)課程：微積分，線性代數(shù)，概率論，復(fù)變函數(shù)，隨機(jī)過程，矩陣論，數(shù)值分析等。但對(duì)于大多數(shù)人來說，參加工作后，大家都會(huì)感慨，大部分內(nèi)容基本都忘光了。為什么呢？原因很簡單，因?yàn)樵僖矝]有用到。對(duì)于很多具體的工程領(lǐng)域，這些課程的大部分的確不大用得著。就我個(gè)人工作經(jīng)歷來說，工作后，主要從事通信物理層的應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)。微積分很少直接應(yīng)用，除了高等數(shù)學(xué)老師，還有誰會(huì)去關(guān)注柯西中值定理呢？復(fù)變函數(shù)更是多年未曾打過一次交道。這么些課程中，相對(duì)來說，用的較多的是兩樣，一個(gè)是傅里葉變換，一個(gè)是線性代數(shù)。最最頻繁使用的，是高中學(xué)到的一些知識(shí)，比如復(fù)數(shù)，三角函數(shù)，初等函數(shù)等等。

　　就像從初中一年級(jí)就開始花費(fèi)大量時(shí)間學(xué)習(xí)英語，至今仍是聾啞英語一樣，大學(xué)的那么多課程，費(fèi)了好些時(shí)間和力氣學(xué)習(xí)，卻沒有怎么用得上，想想真是令人惋惜?，F(xiàn)在回想起來，如果上大學(xué)只為了最終的一張文憑的話，我寧可不上。在現(xiàn)實(shí)中，一個(gè)單片機(jī)實(shí)用電路的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，或者熟練的編寫一段軟件代碼，遠(yuǎn)比泰勒定理的證明更來得實(shí)在。

　　照如此說，似乎大學(xué)的數(shù)學(xué)也沒有啥用。這個(gè)結(jié)論先不必急于落下。先談?wù)勎以诠ぷ鲗?shí)踐中中碰到的具體數(shù)學(xué)應(yīng)用吧。頻譜分析需要用到傅里葉變換，這算是大學(xué)數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的一個(gè)。采樣定理的證明和更好的理解，也要用到傅里葉變換。數(shù)字上下變頻會(huì)涉及到三角函數(shù)中的積化和差。電路阻抗分析中會(huì)用到復(fù)數(shù)的運(yùn)算。FPGA實(shí)現(xiàn)中會(huì)涉及到一些邏輯運(yùn)算。FIR濾波處理從實(shí)現(xiàn)上看就是一個(gè)乘累加運(yùn)算，背后是對(duì)各種頻譜分量的不同處理。應(yīng)用廣泛的相關(guān)累計(jì)運(yùn)算也是乘累加運(yùn)算。符號(hào)同步、頻偏估計(jì)、信道補(bǔ)償?shù)忍幚頃?huì)涉及到復(fù)數(shù)形式的乘累加運(yùn)算。

　　從以上的典型應(yīng)用來看，相當(dāng)多的數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用都離不開乘累加運(yùn)算，比如相關(guān)、卷積、濾波等等，傅里葉變換的具體實(shí)現(xiàn)——離散傅里葉變換，其實(shí)現(xiàn)方式也是乘累加。這也是數(shù)字信號(hào)處理的魅力，一個(gè)簡單的乘累加運(yùn)算，解決了各種各樣，各種形式的問題。一個(gè)成累加運(yùn)算之所以能夠發(fā)揮如此巨大的威力，其原理和本質(zhì)都是基于線性時(shí)不變系統(tǒng)的前提。所以說，線性運(yùn)算和與之緊密相連的線性系統(tǒng)，是我們必須好好理解的一個(gè)內(nèi)容。

　　不得不提的是傅里葉變換，對(duì)于電子工程和從事通信信號(hào)處理的工程師來說，這算是大學(xué)數(shù)學(xué)在工程實(shí)踐中最重要的一個(gè)應(yīng)用吧。比如信號(hào)的時(shí)移和頻移，信號(hào)的上下變頻處理，實(shí)信號(hào)的共軛對(duì)稱特性，復(fù)信號(hào)和實(shí)信號(hào)頻譜的差異，模擬信號(hào)的數(shù)字采樣，信號(hào)的帶通采樣，頻譜的混疊和抗混疊，頻譜的鏡像，上采樣中的內(nèi)插處理，下采樣中的抽取處理，等等等等，都可以從傅里葉變換的角度進(jìn)行解釋和分析。對(duì)連續(xù)和離散傅里葉變換的全方位理解，有助于我們更深刻的解釋和分析具體應(yīng)用中的各種問題。

　　當(dāng)應(yīng)用MATLAB來做一些信號(hào)處理算法的仿真時(shí)，我才真正體會(huì)到線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值和巨大威力。由于信號(hào)處理都是用離散的樣點(diǎn)來處理的，因此信號(hào)處理算法和實(shí)現(xiàn)都可以用矢量和矩陣的方式來表達(dá)和分析。比如最簡單的乘累加運(yùn)算，可以看做是兩個(gè)矢量的相乘。信號(hào)處理的最基本和最頻繁的運(yùn)算，諸如相關(guān)，卷積，濾波，傅里葉變換，所有的這些都可以用簡潔的矢量和矩陣形式表達(dá)出來。

　　線性代數(shù)大概研究幾個(gè)大方向：解方程，特征值分析，奇異值分析，穩(wěn)定性分析。在具體工程應(yīng)用最多的是基本的矢量運(yùn)算和解方程。對(duì)矢量運(yùn)算的理解非常有助于靈活運(yùn)用MATLAB，因?yàn)镸ATLAB就是以矢量為處理對(duì)象的，矢量操作遠(yuǎn)比for循環(huán)高效的多得多。

　　當(dāng)初學(xué)習(xí)特征值的時(shí)候，始終不明白這個(gè)特征值到底有什么用，工作多年來也沒有看到它到底有什么用。但是，當(dāng)我因工作需要去了解LMS自適應(yīng)算法的原理時(shí)，我第一次強(qiáng)烈的感受到特征值的價(jià)值所在。稍微熟悉LMS算法的人都知道，LMS的每一步迭代，都涉及到一個(gè)步進(jìn)常數(shù)，而這個(gè)常數(shù)該取多大，跟信號(hào)相關(guān)矩陣的特征值有密切聯(lián)系。張賢達(dá)老師曾經(jīng)寫過一本專著，專門討論線性代數(shù)在信號(hào)處理中的應(yīng)用，從中可以看到非常多的特征值，范數(shù)，奇異值等概念在信號(hào)處理中的具體應(yīng)用。

　　很多信號(hào)處理算法要解方程，解方程則涉及到形式多樣的矩陣分解方法，基于DSP數(shù)字信號(hào)處理器來搞這些矩陣分解算法是再合適不過了。但是對(duì)于實(shí)時(shí)性要求更高的應(yīng)用場(chǎng)景，更多的基于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)，矩陣分解則用的不多，更多的是使用一些替代方法，比如基于迭代的方法。就像上面提到的LMS算法，就是替代需要矩陣分解的LS算法。因?yàn)榈姆椒ㄓ肍PGA實(shí)現(xiàn)更為方便。

　　我個(gè)人的經(jīng)歷非常有限，只涉及信號(hào)處理在通信中的應(yīng)用的一小部分，以我的鼠光來看，對(duì)于通常的電路設(shè)計(jì)，軟件設(shè)計(jì)，邏輯設(shè)計(jì)等諸多領(lǐng)域，大學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的不是太多，關(guān)聯(lián)不是很大，更多的是起到理論支撐和理解作用。但對(duì)于算法領(lǐng)域來說，比如通信信號(hào)處理，雷達(dá)信號(hào)處理，模式識(shí)別，數(shù)據(jù)挖掘，信息檢索等等，大學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)還是有相當(dāng)多的用武之地的。

　　另外，也和我國當(dāng)前的發(fā)展現(xiàn)狀有很大關(guān)系，真正涉及大量數(shù)學(xué)知識(shí)的工程應(yīng)用團(tuán)體和公司還比較少，大多處于比較初級(jí)和粗淺的應(yīng)用。試舉兩個(gè)例子，第一個(gè)，國內(nèi)做視頻監(jiān)控方面的廠商可謂成百上千家，但大多處于圖像采集，圖像壓縮編碼，圖像的傳輸和多種格式的顯示等初級(jí)應(yīng)用，涉及到圖像目標(biāo)檢測(cè)，圖像分割，圖像目標(biāo)識(shí)別等應(yīng)用的產(chǎn)品還非常少。而這些才是真正涉及大量數(shù)學(xué)和信號(hào)處理算法的地方，體現(xiàn)算法魅力和價(jià)值的地方。第二例，當(dāng)前市面上出現(xiàn)了家庭自動(dòng)掃地機(jī)，可以自動(dòng)充電，自動(dòng)打掃地面，但是對(duì)于房間地面的遍歷，大多數(shù)掃地機(jī)采用非常簡單的隨機(jī)搜索方式，效率很低，以至于有些掃地機(jī)時(shí)不時(shí)的發(fā)出如下語音：“我很笨，可是我很勤奮！”?；蛘哒f：“請(qǐng)不要一直盯著我”。這也是無奈之舉。對(duì)于房間地面的高效遍歷，肯定是需要一套檢測(cè)和識(shí)別算法來有效支撐的，這些地方更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)和算法的價(jià)值。

　　真正的工程實(shí)踐中，物理、化學(xué)的實(shí)際用途更大，更廣。對(duì)社會(huì)產(chǎn)生巨大影響，產(chǎn)生巨大推動(dòng)力量的更多的是物理學(xué)家，化學(xué)家，生物學(xué)家，醫(yī)學(xué)家等等，數(shù)學(xué)家相對(duì)要少些。有人說數(shù)學(xué)很美，描述的非常夸張，也許當(dāng)事人的確有這種感覺。我個(gè)人的感覺是物理定律比純粹的數(shù)學(xué)公式更美。對(duì)大多數(shù)工程實(shí)踐人員來說，數(shù)學(xué)是有用，但也只是一種工具而已，遠(yuǎn)不是首要的，放到首位的始終是用簡單高效的方法解決實(shí)際的具體問題。

　　時(shí)間有限，能力更是有限，粗略的聊了這些和電子發(fā)燒友網(wǎng)工程師們交流。希望大家多多指正，建議和批評(píng)更是多多益善。

下期開講——精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps（3）：信號(hào)處理應(yīng)用所必須掌握的三大基石，敬請(qǐng)關(guān)注！

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