小波變換和motion信號(hào)處理(二)

，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的

在V2, V3, …, Vn中表示出來(lái)。這些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。

好，稍微總結(jié)一下。到現(xiàn)在，已經(jīng)講了關(guān)于scaling function的基本理論知識(shí)，知道了信號(hào)空間可以分為不同精細(xì)度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling function或者頻率變換之后的scaling function，如下圖所示：

上圖就是四個(gè)子空間的basis集合的展覽。通過(guò)前面的討論，我們還知道，一開(kāi)始的scaling function可以通過(guò)更精細(xì)的子空間的scaling function(它們都是對(duì)應(yīng)子空間的basis)來(lái)構(gòu)建。比如

對(duì)于更加finer的scale：

圖2

依此類(lèi)推。實(shí)際上，對(duì)于任何scale和translate過(guò)的scaling function，都可以用更加精細(xì)的scale層面上的scaling function構(gòu)建出來(lái)。

然后，我們有各種scale下的scaling function了，該看看它們分別所對(duì)應(yīng)的嵌套的空間序列

了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function為基礎(chǔ)去span出來(lái)的：

這個(gè)不新鮮，剛才就講過(guò)了。這個(gè)子空間代表什么樣的信號(hào)?常量信號(hào)。道理很簡(jiǎn)單，這個(gè)scaling function在整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度上，沒(méi)有任何變化。繼續(xù)往下看：

這個(gè)相比V0更加finer的子空間，代表著這樣一種信號(hào)，它從1-4是常量，從5-8是另一個(gè)常量。同理我們有：

V2代表的信號(hào)，是分別在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信號(hào)。那么V3呢?則表示任何信號(hào)，因?yàn)閷?duì)于V3來(lái)講，任何一個(gè)時(shí)間刻度上的值都可以不一樣。而且現(xiàn)在，我們也可以通過(guò)上面的一些scaling functions的波形驗(yàn)證了之前提到的多解析度分析中的一個(gè)核心性質(zhì)，那就是：

我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現(xiàn)在，通過(guò)這些圖形化的分析，我們可能才會(huì)真正理解它。那好，既然我們有一個(gè)現(xiàn)成的信號(hào)，那就來(lái)看看，對(duì)這個(gè)信號(hào)作多解析度分析是啥樣子的：

你看，在不同的子空間，對(duì)于同一個(gè)信號(hào)就有不同的詮釋。詮釋最好的當(dāng)然是V3，完全不損失細(xì)節(jié)。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scaling function演變的basis function集合，每一個(gè)集合都提供對(duì)原始信號(hào)的某種近似，解析度越高，近似越精確。

說(shuō)到這里，可能你對(duì)scaling function以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒(méi)有涉及到它們?cè)谛〔ㄗ儞Q中的具體應(yīng)用，也就是還沒(méi)有回答剛才那個(gè)問(wèn)題：憑空插了一個(gè)scaling function到小波basis組合中干嘛。也就是說(shuō)，我們希望理解scaling function是怎么和小波函數(shù)結(jié)合的呢，多解析度能給小波變換帶來(lái)什么樣的好處呢。這其實(shí)就是是小波變換中的核心知識(shí)。理解了這個(gè)，后面的小波變換就是純數(shù)學(xué)計(jì)算了。

好，我們已經(jīng)知道，對(duì)于子空間V0，basis是scaling function：

對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是：

然后子空間V1的basis集合是這倆哥們：

看出什么規(guī)律了么?多看幾次這三個(gè)圖，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實(shí)就是V1中的basis!繼續(xù)這樣推導(dǎo)，V1本來(lái)的的basis是：

然后V1中對(duì)應(yīng)的wavelet function是

他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis(參考圖2)。你繼續(xù)推導(dǎo)下去，會(huì)得到同樣的結(jié)論：在scale j的wavelet function，可以被用來(lái)將Vj的basis擴(kuò)展到V(j+1)中去!這是一個(gè)非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因?yàn)檫@代表著，對(duì)任何一個(gè)子空間Vj，我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：

1. 一種就是它本來(lái)的basis

，對(duì)任意k。

2. 第二種就是它上一個(gè)子空間的basis

，對(duì)任意k，以及上一級(jí)子空間的wavelet function

，對(duì)任意k。

第二種選擇能給我們帶來(lái)額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級(jí)子空間的scaling function以及wavelet function的組合來(lái)作為當(dāng)前子空間的基。換句話(huà)說(shuō)，如果針對(duì)V3這個(gè)子空間，它實(shí)際上就有四種不同的，但是等價(jià)的orthonormal basis：

1. 本級(jí)(V3)的scaling function basis set

2. 上一級(jí)(V2)的scaling function + wavelet function;

3 . 上上一級(jí)(V1)的scaling function + 上上一級(jí)(V1)的wavelet function + 上一級(jí)(V2)的wavelet function;

4. 上上上一級(jí)(V0)的scaling function + 上上上一級(jí)(V0)的wavelet function + 上上一級(jí)(V1)的wavelet function + 上一級(jí)(V2)的wavelet function

好，看看最后一種選取方式，有沒(méi)有感到眼熟?對(duì)了，它就是我們之前提到的“針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合”，參見(jiàn)圖1?，F(xiàn)在我們知道了，這個(gè)scaling function不是憑空插進(jìn)去的，而是通過(guò)不斷的嵌套迭代出來(lái)的：)

那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢?實(shí)際上，剛才介紹的這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對(duì)于任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個(gè)basis是通過(guò)組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個(gè)orthonormal basis，所有信號(hào)空間中的信號(hào)都可以寫(xiě)成組成這個(gè)basis的functions的線(xiàn)性組合：

對(duì)應(yīng)的系數(shù)的計(jì)算和平常一樣：

這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號(hào)壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個(gè)基礎(chǔ)流程：

1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的信號(hào)中，反算出系數(shù)c和d。

2. 對(duì)系數(shù)做對(duì)應(yīng)處理

3. 從處理后的系數(shù)中重新構(gòu)建信號(hào)。

這里的系數(shù)處理是區(qū)別你的應(yīng)用的重點(diǎn)。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數(shù)中的小波，然后拋棄那些能量很小的小波系數(shù)，只保留少數(shù)的這些大頭系數(shù)，再反變換回去。這樣的話(huà)，圖像信號(hào)的能量并沒(méi)有怎么丟失，圖像體積卻大大減小了。

還有一個(gè)沒(méi)有解釋的問(wèn)題是，為什么要強(qiáng)調(diào)尺度函數(shù)和小波函數(shù)組成一個(gè)orthonormal basis呢?計(jì)算方便是一方面，還有一個(gè)原因是，如果他們滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì)，就滿(mǎn)足瑞利能量定理，也就是說(shuō)，信號(hào)的能量，可以完全用每個(gè)頻域里面的展開(kāi)部分的能量，也就是他們的展開(kāi)系數(shù)表示：

到這里，我們對(duì)小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡(jiǎn)單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來(lái)的殺手锏：時(shí)域頻域同時(shí)定位。結(jié)束之前，再多說(shuō)幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作為例子：

左邊這四個(gè)basis組成元素，也就是scaling functions，的系數(shù)，表征的是信號(hào)的local平均(想想它們和信號(hào)的內(nèi)積形式)，而右邊的這四個(gè)basis組成元素，也就是wavelet functions，的系數(shù)則表征了在local平均中丟失的信號(hào)細(xì)節(jié)。得益于此，多解析度分析能夠?qū)π盘?hào)在越來(lái)越寬的區(qū)域上取平均，等同于做低通濾波，而且，它還能保留因?yàn)槠骄鴵p失的信號(hào)細(xì)節(jié)，等同于做高通濾波!這樣，我們終于可以解釋了wavelet function和scaling function背后的物理意義了：wavelet function等同于對(duì)信號(hào)做高通濾波保留變化細(xì)節(jié)，而scaling function等同于對(duì)信號(hào)做低通濾波保留平滑的shape!

對(duì)小波變換的基礎(chǔ)知識(shí)，我們就講到這里。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識(shí)，但也是最核心的知識(shí)。掌握了這些，代表你對(duì)小波變換的物理意義有了一定的了解。但對(duì)于小波變換本身的講解，一本書(shū)都不一定能將講透，還有很多的基礎(chǔ)知識(shí)我都沒(méi)有講，比如如何構(gòu)建自己的scaling function，選取合適的系數(shù)集h[k]，并由此構(gòu)建自己的wavelet functions。所以，如果有深入下去研究的同學(xué)，好好買(mǎi)一本書(shū)來(lái)看吧。而只是希望用小波變換來(lái)服務(wù)自己的應(yīng)用的同學(xué)，個(gè)人覺(jué)得這些知識(shí)已經(jīng)足夠讓你用來(lái)起步了。