旋轉(zhuǎn)隊(duì)列的簡(jiǎn)要分析

題目大概如下所示：
設(shè)1點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,0)，x方向向右為正，y方向向下為正。例如：7的坐標(biāo)為(-1,-1)，2的坐標(biāo)為(1,0)，3的坐標(biāo)為(1,1)。編程實(shí)現(xiàn)輸入任意一點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)，輸出所對(duì)應(yīng)的數(shù)字；或輸入任意數(shù)字，輸出該數(shù)字的坐標(biāo)。實(shí)現(xiàn)的效果如上圖所示，從圖中可知，只需要找到正確的數(shù)值分析式，就能夠得到坐標(biāo)處對(duì)應(yīng)的數(shù)值。

下面簡(jiǎn)要的分析其中的一些規(guī)律，這類問(wèn)題我覺(jué)得關(guān)鍵還是要找到突破點(diǎn)，然后找到具體數(shù)值的表達(dá)式，表達(dá)式清楚了就只是程序的轉(zhuǎn)化問(wèn)題啦。

從圖上可知，在第0層時(shí)只有一個(gè)值1，第1層是有8個(gè)值（2-9）,第2層上的值從10到25，第3層的值從26到49，由圖可知每一層的最后一個(gè)值都是奇數(shù)的平方（1,9,25,49,81,...）,再和層數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，得到每一層的最后一個(gè)數(shù)都是(2n+1)^2,同樣每一層的起始值也就可以確定，即(2n-1)^2+1。也就是每一層的值都是處在(2n-1)^2+1和(2n+1)^2之間，這樣采用(2n-1)^2作為一個(gè)基準(zhǔn)，加上對(duì)應(yīng)的數(shù)就能得到具體的數(shù)值。

因此我們可以得到如下的結(jié)論：

旋轉(zhuǎn)隊(duì)列每一層的開(kāi)始值都是(2n-1)^2+1,結(jié)尾值都是(2n+1)^2,其中的n就是層數(shù)（0,1,2,...）,可以認(rèn)為是坐標(biāo)中較大的絕對(duì)值值確定所在的層，比如(2,3),則表示該坐標(biāo)處于第3層，而（-3，-2）也表示這個(gè)數(shù)值在第3層上。有了這種層的概念就會(huì)使得推理的過(guò)程更見(jiàn)的簡(jiǎn)單。也就是說(shuō)坐標(biāo)值中絕對(duì)值較大的值就是所謂的層。

結(jié)合上面的圖像可知道，每一層的開(kāi)始值都是出于東方，也就是x>0的方向，結(jié)束于北方，即y<0的方向，這時(shí)候我們可以根據(jù)東西南北四個(gè)方向來(lái)確定坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的值。

即：首先采用輸入的坐標(biāo)值確定該數(shù)值對(duì)應(yīng)的層數(shù)，然后根據(jù)輸入坐標(biāo)的x,y確定坐標(biāo)所在的方向，這時(shí)候依據(jù)每一個(gè)方向的起始值就能較好的確定所有的值（具體分析該值與每一層的開(kāi)始值之間的聯(lián)系），但是這種方法有問(wèn)題，因?yàn)槊恳粚由厦總€(gè)方向（東西南北）的起始坐標(biāo)都是在變化的，并不便于得到通用的表達(dá)式。

這時(shí)候可以考慮對(duì)稱性問(wèn)題，因?yàn)樵谏厦娴膱D中我們可以知道該圖基本上是按照x,y對(duì)稱的，如果我們知道了四個(gè)正方向的值，那么就能根據(jù)對(duì)稱性快速的確定其他的值，也就是只需要知道每一層與坐標(biāo)軸相交的幾個(gè)值就能快速的確定其他的值。

但是如何讓確定坐標(biāo)軸上的值呢？

這就要密切聯(lián)系每一層的結(jié)束值(2n+1)^2，根據(jù)這個(gè)值我們可以知道下一層正東方的值(2n+1)^2+n+1,加入坐標(biāo)所在的層為K,則正東方的值就應(yīng)該是(2*K-1)^2+K,這個(gè)可以很容易的確定，因?yàn)殚_(kāi)始值到坐標(biāo)軸的距離剛好就是層數(shù)K,也就是加上K。其他三個(gè)方向的值也就能夠快速的確定。

因此我們可以知道每一個(gè)方向的對(duì)稱軸的表達(dá)式分別為：

正東方：（2*K-1)^2+K
正南方：（2*K-1)^2+3K
正西方：（2*K-1)^2+5K
正北方：（2*K-1)^2+7K

依據(jù)每一個(gè)方向的坐標(biāo)軸的對(duì)稱性確定對(duì)應(yīng)的值，在對(duì)稱的方向上只需要一個(gè)坐標(biāo)值就能確定其他的值，這時(shí)候四個(gè)方向上的值分別為：

東方：（2*K-1)^2 + K + y
南方：（2*K-1)^2 + 3K - x
西方：（2*K-1)^2 + 5K - y
北方：（2*K-1)^2 + 7K + x

這樣也就找到了每一行的表達(dá)式，就能實(shí)現(xiàn)每一個(gè)方向上數(shù)值的確定。程序的實(shí)現(xiàn)也就相對(duì)來(lái)說(shuō)非常容易實(shí)現(xiàn)啦。在打印的過(guò)程中需要注意數(shù)組行列的差別。

實(shí)現(xiàn)的基本過(guò)程如下：

#include
#include

using namespacestd;

#define abs(x) ((x) > 0 ? (x) : (-x))
#define max(x,y) (abs(x) >= abs(y) ? abs(x) : abs(y))

int reverse_xy(int x, int y)
{
int cnt = 0;

/*保存所在的行*/
int t = max(x, y);

/*最先判斷北方(y=-t)*/
if(-t == y)
{
cnt = (2*t-1)*(2*t-1) + 7*t + x;
}
else if(-t == x)/*西方*/
{
cnt = (2*t-1)*(2*t-1) + 5*t - y;
}
else if(t == y)/*南方*/
{
cnt = (2*t-1)*(2*t-1) + 3*t - x;
}
else if(t == x)/*東方*/
{
cnt = (2*t-1)*(2*t-1) + t + y;
}

return cnt;
}

int main()
{
int array[9][9] = {0};

int x = 0;
int y = 0;

for(y = 0; y <= 8 ; ++ y)
{
for(x = 0; x <= 8; ++ x)
{
array[x][y] = reverse_xy(x-4 , y-4);
cout << array[x][y] << " ";
}
cout << endl;
}
}