基于DSP的NURBS曲線插補(bǔ)控制

1 引言

運(yùn)動(dòng)控制卡是一種基于工業(yè)PC機(jī)、用于各種運(yùn)動(dòng)控制場(chǎng)合（包括位移、速度、加速度等）的上位控制單元，而插補(bǔ)模塊是運(yùn)動(dòng)控制單元不可缺少的。本文所設(shè)計(jì)的基于PCI總線的DSP運(yùn)動(dòng)控制卡，可完成數(shù)控系統(tǒng)中實(shí)時(shí)性要求較高的插補(bǔ)、位置控制、實(shí)現(xiàn)數(shù)控系統(tǒng)中多軸聯(lián)動(dòng)的插補(bǔ)計(jì)算、位置控制等功能。傳統(tǒng)的插補(bǔ)器一般都具有直線和圓弧的插補(bǔ)功能，使用不同算法處理直線、圓弧、螺旋線運(yùn)動(dòng)。使用這種方法并非所有的控制特征被編程到每種插補(bǔ)類型，而添加一種新的插補(bǔ)類型需要大幅度改動(dòng)軟件結(jié)構(gòu)。而該DSP運(yùn)動(dòng)控制卡的插補(bǔ)器采用基于非均勻有理B樣條NURBS的通用插補(bǔ)器，把所有編程的插補(bǔ)類型轉(zhuǎn)換為公共的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使所有的功能不依賴于編程類型。通用插補(bǔ)器是一種能準(zhǔn)確表達(dá)曲率的插補(bǔ)模型，能夠精確表達(dá)出各種曲線、曲面的軌跡?；贜URBS原理的通用插補(bǔ)器模型包含任何曲線、曲面，所有傳統(tǒng)的插補(bǔ)類型（直線、圓?。┮膊焕?，克服了傳統(tǒng)插補(bǔ)器的缺點(diǎn)，提高了控制精度。

2 運(yùn)動(dòng)控制卡的硬件設(shè)計(jì)

運(yùn)動(dòng)控制卡的硬件設(shè)計(jì)基于PCI總線規(guī)范，采用DSP和FPGA的結(jié)合，再配以其它輔助電路，可適用于各種PC機(jī)及其兼容機(jī)系統(tǒng)，其硬件方框圖如圖1所示，以下分別介紹圖1中各芯片功能及其在該硬件電路中的作用。

核心處理器DSP：TMS320LF2407a是TI公司專為電機(jī)控制和其他控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的DSP^[1]。主要完成位置速度PID控制,插補(bǔ)迭代運(yùn)算,開(kāi)關(guān)量輸入和輸出以及程序和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和上下機(jī)的通信。

模擬量控制電路：將速度信號(hào)數(shù)字量用數(shù)據(jù)線接4路12位數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片DAC7625,將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為-10～10V的模擬信號(hào),輸出接模擬信號(hào)輸入的電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)模塊。

反饋電路：在大多數(shù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中,采用光電編碼器作為閉環(huán)控制的反饋元件。光電編碼器輸出的是兩組相位相差90的脈沖信號(hào)Ａ和Ｂ, 先將信號(hào)差分整形以消除干擾信號(hào)的影響，然后對(duì)A、B兩相信號(hào)進(jìn)行四倍頻，同時(shí)進(jìn)行鑒相確定出DIR，根據(jù)DIR對(duì)四倍頻的脈沖進(jìn)行加計(jì)數(shù)或減計(jì)數(shù)。計(jì)數(shù)器和位置捕捉寄存器均為32位，DSP可對(duì)其進(jìn)行讀取或清零。

通訊電路：通過(guò)PCI接口從模式3.3V芯片PLX9030和雙口RAM芯片70V24與PC機(jī)的PCI總線相連,可以進(jìn)行高速數(shù)據(jù)傳輸。其中雙口RAM70V24作為上下機(jī)交換數(shù)據(jù)公共緩沖區(qū)。70V24芯片具有8個(gè)異步仲裁標(biāo)志位,更好地保證雙方對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確操作。另外,使用FPGA芯片F(xiàn)LEX10KA來(lái)實(shí)現(xiàn)PLX9030對(duì)雙口RAM70V24的時(shí)序轉(zhuǎn)換。

開(kāi)關(guān)量電路：包括通用16/16通用I/O點(diǎn)、能使4個(gè)電機(jī)輸出,4個(gè)軸左右的極限輸入和原點(diǎn)中斷輸入。

圖一 硬件結(jié)構(gòu)框圖

3 運(yùn)動(dòng)控制卡的插補(bǔ)計(jì)算

數(shù)控系統(tǒng)中插補(bǔ)的作用是讀取用戶程序經(jīng)解釋器解釋之后的位置指令，由軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)、軌跡的類型、軌跡的方向，計(jì)算出軌跡運(yùn)動(dòng)的各個(gè)中間點(diǎn)坐標(biāo)。插補(bǔ)程序在每一個(gè)插補(bǔ)周期算出坐標(biāo)軸在一個(gè)周期中的位置增量，由此位置增量算出坐標(biāo)軸相應(yīng)的指令位置，作為位置閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸入^[2]。該DSP運(yùn)動(dòng)控制卡中，設(shè)計(jì)一種基于NURBS原理的通用插補(bǔ)器，下面簡(jiǎn)要說(shuō)明NURBS的原理。

圖二

一條曲線的形狀由控制點(diǎn)的位置決定，見(jiàn)圖二中的B_i。圖二中a、b曲線的B₇點(diǎn)的位置不同，使a、b曲線在與B₇相鄰的部分曲線形狀發(fā)生變化，而其余控制點(diǎn)附近的曲線形狀保持不變。在任意時(shí)刻t，曲線的位置為各個(gè)控制點(diǎn)加權(quán)平均值。離控制點(diǎn)越近，加權(quán)值越大，反之越小。一條K 次NURBS 曲線可以表示為一分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)：

其中,B_i(i= 0,1,…,n)為控制點(diǎn), 每個(gè)控制點(diǎn)附有一個(gè)權(quán)因子W_i(i=0,1,…,n),首末權(quán)因子W₀,Wn>0,其余W_i≥0,N_i,_k為K次規(guī)范B樣條基函數(shù),可由下式遞推計(jì)算:

U=[u_0,u_1,…,u_n+k+1]稱為節(jié)點(diǎn)矢量。以三次NURBS曲線為例，即k＝3時(shí)，第i段曲線可以寫(xiě)成下列矩陣形式：

其中 ，

由于控制頂點(diǎn)及權(quán)因子均已知,則Y₀、Y₁、Y₂、Y₃、Y₀’、Y₁’、Y₂’、Y₃’與參數(shù)無(wú)關(guān),可在插補(bǔ)計(jì)算之前預(yù)先算出,插補(bǔ)計(jì)算時(shí)只需計(jì)算插補(bǔ)變化量Δt,從而大大加快了計(jì)算速度。

在參數(shù)空間，曲線上插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)可由二階泰勒級(jí)數(shù)表示為：

t_i+1= t_i+Tt`+(T²/2)t⁽²⁾ +O(T² ) （3）

其中，T為插補(bǔ)周期，t`,t⁽²⁾分別為參數(shù)對(duì)t的一階和二階導(dǎo)數(shù)。若以一階差分代替微分，將

代入公式（3），整理可得參數(shù)快速遞推公式，用以預(yù)估新插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)：

_i+1=2.5t_i-2t_i-1+0.5t_i-2 （4）

基于上述算法可進(jìn)一步推導(dǎo)NURBS插補(bǔ)的誤差,加減速控制等算法,從而完善運(yùn)動(dòng)控制卡的NURBS插補(bǔ)運(yùn)算功能。

圖三 插補(bǔ)子程序框圖

插補(bǔ)子程序流程如圖三所示，具體插補(bǔ)過(guò)程包括以下幾個(gè)步驟：

1） 設(shè)定參數(shù)初始值，在選取t₂點(diǎn)時(shí)，需要對(duì)插補(bǔ)步長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)算，在滿足弓高誤差、進(jìn)給速度、進(jìn)給加速度的約束條件時(shí)才可采用、否則需進(jìn)行校正。

2） 預(yù)估插補(bǔ)參數(shù)，得出預(yù)估參數(shù)后需取t的整數(shù)部分來(lái)確定取哪一段曲線的Y系數(shù)數(shù)組，這里0≤t_i≤n，若t_i超出n則說(shuō)明該曲線已到盡頭 這時(shí)插補(bǔ)參數(shù)應(yīng)取為n，取第n-1段曲線的Y參數(shù)數(shù)組，實(shí)際插補(bǔ)參數(shù)取值為1。

3） 根據(jù)預(yù)估插補(bǔ)參數(shù)計(jì)算預(yù)估插補(bǔ)點(diǎn)F_i+1，預(yù)估插補(bǔ)步長(zhǎng)L_i。

4） 求期望步長(zhǎng)，需要先分別根據(jù)弓高誤差、進(jìn)給速度、進(jìn)給加速度的約束條件算出各自步長(zhǎng)，然后取其最小值即為期望步長(zhǎng)。

5） 根據(jù)希望步長(zhǎng)計(jì)算插補(bǔ)偏差，判斷插補(bǔ)偏差是否符合精度要求，若符合則該插補(bǔ)點(diǎn)即為所求，否則需對(duì)其進(jìn)行校正。

6） 確定符合要求的插補(bǔ)參數(shù)后，計(jì)算新插補(bǔ)點(diǎn)，并算出各軸增量。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的精度要求較高時(shí)，僅根據(jù)進(jìn)給速度及插補(bǔ)周期生成插補(bǔ)軌跡是不夠的， 需要進(jìn)一步對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行調(diào)整，方法是在插補(bǔ)中實(shí)時(shí)監(jiān)控插補(bǔ)弓高誤差的大小，當(dāng)誤差在允許誤差范圍內(nèi)時(shí)，仍按瞬時(shí)進(jìn)給速度計(jì)算進(jìn)給步長(zhǎng)Li，若誤差超出了允許范圍，則按允許誤差求取約束插補(bǔ)步長(zhǎng)。此外，為了獲得更好的速度穩(wěn)定性，應(yīng)直接以弦長(zhǎng)速度為控制目標(biāo)，為了滿足式（2） 的新插補(bǔ)點(diǎn)F_i+1，本文采用基于參數(shù)遞推預(yù)估與校正的參數(shù)曲線插補(bǔ)算法，它不僅計(jì)算速度快，而且可避免其他插補(bǔ)算法所需的曲線求導(dǎo)等復(fù)雜計(jì)算。

曲線所具有的有理形式分段參數(shù)方程使曲線的軌跡及其導(dǎo)數(shù)、曲率等計(jì)算異常繁瑣，因而需要通過(guò)適當(dāng)?shù)牟逖a(bǔ)預(yù)處理，運(yùn)用基于預(yù)估與校正的插補(bǔ)策略以及合理的近似計(jì)算等措施，有效地簡(jiǎn)化了插補(bǔ)過(guò)程中的軌跡計(jì)算，避免了對(duì)曲線的直接求導(dǎo)和曲率半徑等復(fù)雜計(jì)算，確保了插補(bǔ)算法的良好實(shí)時(shí)性。

根據(jù)上述算法，在上位機(jī)用VC++實(shí)現(xiàn)上層控制，通過(guò)PCI總線和雙口RAM芯片與DSP交換數(shù)據(jù)，用DSP語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)下層插補(bǔ)算法，利用DSP的高速運(yùn)算能力和和實(shí)時(shí)信號(hào)處理能力，在芯片粘片機(jī)的運(yùn)用中取得了良好的效果，使該運(yùn)動(dòng)控制卡能夠滿足運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中高速高精度的要求。