線性回歸：不能忽視的三個(gè)問題

前言

線性回歸是比較簡單的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，很多書籍介紹的第一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法就是線性回歸算法，筆者查閱的中文書籍都是給出線性回歸的表達(dá)式，然后告訴你怎么求參數(shù)最優(yōu)化，可能部分同學(xué)會忽視一些問題，至少筆者忽視了。因此，本文重點(diǎn)介紹了平常容易忽視的三類問題，（1）線性回歸的理論依據(jù)是什么（2）過擬合意味著什么（3）模型優(yōu)化的方向。

目錄

1、線性回歸的理論依據(jù)是什么

2、過擬合意味著什么

3、模型優(yōu)化的方向

4、總結(jié)

線性回歸的理論依據(jù)

泰勒公式

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x，成立下式：

結(jié)論：對于區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)，函數(shù)值都可以用兩個(gè)向量內(nèi)積的表達(dá)式近似，其中

是基函數(shù)（basis function），是相應(yīng)的系數(shù)。

高階表達(dá)式表示兩者值的誤差（請回想您學(xué)過的線性回歸表達(dá)式）。

傅里葉級數(shù)

周期函數(shù)f(x)可以用向量內(nèi)積近似，表示基函數(shù)，表示相應(yīng)的系數(shù)，表示誤差。

線性回歸

由泰勒公式和傅里葉級數(shù)可知，當(dāng)基函數(shù)的數(shù)量足夠多時(shí)，向量內(nèi)積無限接近于函數(shù)值。線性回歸的向量內(nèi)積表達(dá)式如下：

過擬合問題

過擬合定義

構(gòu)建模型的訓(xùn)練誤差很小或?yàn)?，測試誤差很大，這一現(xiàn)象稱為過擬合。

高斯噪聲數(shù)據(jù)模型

我們采集的樣本數(shù)據(jù)其實(shí)包含了噪聲，假設(shè)該噪聲的高斯噪聲模型，均值為0，方差為。

若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)記為y1，理論標(biāo)記為y，噪聲為η，則有：

y1 = y + η，（其中，η是高斯分布的抽樣）

上節(jié)的線性回歸表達(dá)式的方差表示的意義是噪聲高斯分布的隨機(jī)抽樣，書本的線性回歸表達(dá)式把方差也包含進(jìn)去了。

過擬合原因

數(shù)學(xué)術(shù)語：當(dāng)基函數(shù)的個(gè)數(shù)足夠大時(shí)，線性回歸表達(dá)式的方程恒相等。

如下圖：

機(jī)器學(xué)習(xí)術(shù)語：模型太過復(fù)雜以致于把無關(guān)緊要的噪聲也學(xué)進(jìn)去了。

當(dāng)線性回歸的系數(shù)向量間差異比較大時(shí)，則大概率設(shè)計(jì)的模型處于過擬合了。用數(shù)學(xué)角度去考慮，若某個(gè)系數(shù)很大，對于相差很近的x值，結(jié)果會有較大的差異，這是較明顯的過擬合現(xiàn)象。

過擬合的解決辦法是降低復(fù)雜度，后期會有相應(yīng)的公眾號文章，請繼續(xù)關(guān)注。

模型的優(yōu)化方向

模型的不同主要是體現(xiàn)在參數(shù)個(gè)數(shù)，參數(shù)大小以及正則化參數(shù)λ，優(yōu)化模型的方法是調(diào)節(jié)上面三個(gè)參數(shù)（但不僅限于此，如核函數(shù)），目的是找到最優(yōu)模型。

總結(jié)

本文通過泰勒公式和傅里葉級數(shù)的例子說明線性回歸的合理性，線性回歸表達(dá)式包含了方差項(xiàng)，該方差是高斯噪聲模型的隨機(jī)采樣，若訓(xùn)練數(shù)據(jù)在線性回歸的表達(dá)式恒相等，那么就要考慮過擬合問題了，回歸系數(shù)間差異比較大也是判斷過擬合的一種方式。模型優(yōu)化的方法有很多種，比較常見的方法是調(diào)節(jié)參數(shù)個(gè)數(shù)，參數(shù)大小以及正則化參數(shù)λ。