哈佛大學(xué)教授詳解：深度學(xué)習(xí)和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)差異？（2）

二、經(jīng)典和現(xiàn)代預(yù)測(cè)模型

機(jī)器學(xué)習(xí)，無(wú)論是不是深度學(xué)習(xí)，都沿著 Breiman 的第二種觀點(diǎn)演進(jìn)，即以預(yù)測(cè)為重點(diǎn)。這種文化有著悠久的歷史。例如，Duda 和 Hart 在 1973 年出版的教科書和 Highleyman 1962 年的論文就寫到了下圖中的內(nèi)容，這對(duì)于今天的深度學(xué)習(xí)研究者來(lái)說(shuō)是非常容易理解的：

Duda 和 Hart 的教科書《Pattern classification and scene analysis》和 Highleyman 1962 年的論文《The Design and Analysis of Pattern Recognition Experiments》中的片段

類似地，下圖中的 Highleyman 的手寫字符數(shù)據(jù)集和用于擬合它的架構(gòu) Chow（1962）（準(zhǔn)確率約為 58%）也會(huì)引起很多人的共鳴。

三、為什么深度學(xué)習(xí)與眾不同？ 

1992 年，Geman、Bienenstock 和 Doursat 寫了一篇關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的悲觀文章，認(rèn)為 “當(dāng)前的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在很大程度上不足以解決機(jī)器感知和機(jī)器學(xué)習(xí)中的難題”。具體來(lái)說(shuō)，他們認(rèn)為通用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理困難任務(wù)方面不會(huì)成功，而它們成功的唯一途徑是通過(guò)人工設(shè)計(jì)的特征。用他們的話說(shuō)：“重要屬性必須是內(nèi)置的或“硬連接的”…… 而不是以任何統(tǒng)計(jì)意義上的方式學(xué)習(xí)?！?現(xiàn)在看來(lái) Geman 等人完全錯(cuò)了，但更有意思的是了解他們?yōu)槭裁村e(cuò)了。

深度學(xué)習(xí)確實(shí)不同于其它學(xué)習(xí)方法。雖然深度學(xué)習(xí)似乎只是預(yù)測(cè)，就像最近鄰或隨機(jī)森林一樣，但它可能有更多的復(fù)雜參數(shù)。這看起來(lái)似乎只是量的差異，而不是質(zhì)的差異。但在物理學(xué)中，一旦尺度變化了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，通常就需要完全不同的理論，深度學(xué)習(xí)也是如此。深度學(xué)習(xí)與經(jīng)典模型（參數(shù)化或非參數(shù)化）的基礎(chǔ)過(guò)程完全不同，雖然它們的數(shù)學(xué)方程（和 Python 代碼）在更高層次上來(lái)看是相同的。

為了說(shuō)明這一點(diǎn)，下面考慮兩個(gè)不同的場(chǎng)景：擬合統(tǒng)計(jì)模型和向?qū)W生教授數(shù)學(xué)。

場(chǎng)景 A：擬合一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型

通過(guò)數(shù)據(jù)去擬合一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型的典型步驟如下：

1.這里有一些數(shù)據(jù)(是的矩陣；是維向量，即類別標(biāo)簽。把數(shù)據(jù)認(rèn)為是來(lái)自某個(gè)有結(jié)構(gòu)且包含噪聲的模型，就是要去擬合的模型)

2.使用上面的數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，并用優(yōu)化算法來(lái)最小化經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)。就是說(shuō)通過(guò)優(yōu)化算法找到這樣的，使得最小，代表?yè)p失（表明預(yù)測(cè)值有多接近真實(shí)值），是可選的正則化項(xiàng)。

3. 模型的總體損失越小越好，即泛化誤差的值相對(duì)最小。

Effron 從包含噪聲的觀測(cè)中恢復(fù)牛頓第一定律的展示圖

這個(gè)非常通用的范例其實(shí)包含許多內(nèi)容，如最小二乘線性回歸、最近鄰、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練等等。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)場(chǎng)景中，我們通常會(huì)碰到下面的情況：

權(quán)衡：假設(shè)是經(jīng)過(guò)優(yōu)化的模型集合(如果函數(shù)是非凸的或包含正則化項(xiàng)，精心選擇算法和正則化，可得到模型集。的偏差是元素所能達(dá)到的最接近真值的近似值。集合越大，偏差越小，并且可能為 0(如果)。

然而，越大，需要縮小其成員范圍的樣本越多，因此算法輸出模型的方差越大?？傮w泛化誤差是偏差和方差的總和。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)通常是 Bias-Variance 權(quán)衡，正確的模型復(fù)雜度是將總體誤差降至最低。事實(shí)上，Geman 等人證明了其對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的悲觀態(tài)度，他們認(rèn)為：Bias-Variance 困境造成的基本限制適用于所有非參數(shù)推理模型，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

“多多益善”并不總是成立：在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中，更多的特征或數(shù)據(jù)并不一定會(huì)提高性能。例如，從包含許多不相關(guān)特征的數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)是很難的。類似地，從混合模型中學(xué)習(xí)，其中數(shù)據(jù)來(lái)自兩個(gè)分布中的一個(gè)（如和），比獨(dú)立學(xué)習(xí)每個(gè)分布更難。

收益遞減：在很多情況中，將預(yù)測(cè)噪聲降低到水平所需的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量與參數(shù)和是有關(guān)的，即數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量約等于。在這種情況下，需要大約 k 個(gè)樣本才能啟動(dòng)，但一旦這樣做，就面臨著回報(bào)遞減的情況，即如果需要個(gè)點(diǎn)才能達(dá)到 90% 的準(zhǔn)確率，則需要大約額外的個(gè)點(diǎn)來(lái)將準(zhǔn)確率提高到 95%。一般來(lái)說(shuō)，隨著資源增加（無(wú)論是數(shù)據(jù)、模型復(fù)雜度還是計(jì)算），人們希望獲得越來(lái)越精細(xì)的區(qū)分，而不是解鎖特定的新功能。

對(duì)損失、數(shù)據(jù)的嚴(yán)重依賴性：當(dāng)將模型擬合到高維數(shù)據(jù)時(shí)，任何小細(xì)節(jié)都可能會(huì)產(chǎn)生很大的差異。L1 或 L2 正則化器等選擇很重要，更不用說(shuō)使用完全不同的數(shù)據(jù)集。不同數(shù)量的高維優(yōu)化器相互之間也非常不同。

數(shù)據(jù)是相對(duì) “單純” 的：通常會(huì)假設(shè)數(shù)據(jù)是獨(dú)立于某些分布進(jìn)行采樣的。雖然靠近決策邊界的點(diǎn)很難分類，但考慮到高維度上測(cè)量集中現(xiàn)象，可以認(rèn)為大多數(shù)點(diǎn)的距離都是相近的。因此在經(jīng)典的數(shù)據(jù)分布中，數(shù)據(jù)點(diǎn)間的距離差異是不大的。然而，混合模型可以顯示這種差異，因此，與上述其他問題不同，這種差異在統(tǒng)計(jì)中很常見。

場(chǎng)景 B：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

在這個(gè)場(chǎng)景中，我們假設(shè)你想通過(guò)一些說(shuō)明和練習(xí)來(lái)教學(xué)生數(shù)學(xué)（如計(jì)算導(dǎo)數(shù)）。這個(gè)場(chǎng)景雖然沒有正式定義，但有一些定性特征：

學(xué)習(xí)一項(xiàng)技能，而不是去近似一個(gè)統(tǒng)計(jì)分布：在這種情況下，學(xué)生學(xué)習(xí)的是一種技能，而不是某個(gè)量的估計(jì) / 預(yù)測(cè)。具體來(lái)說(shuō)，即使將練習(xí)映射到解的函數(shù)不能被用作解決某些未知任務(wù)的“黑盒”，但學(xué)生在解決這些問題時(shí)形成的思維模式仍然對(duì)未知任務(wù)是有用的。

多多益善：一般來(lái)說(shuō)，做題越多、題型涉獵越廣的學(xué)生表現(xiàn)越好。同時(shí)做一些微積分題和代數(shù)題，不會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的微積分成績(jī)下降，相反可能幫助其微積分成績(jī)提升。

從提升能力到自動(dòng)化表示：雖然在某些情況下，解決問題的回報(bào)也會(huì)遞減，但學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)經(jīng)歷幾個(gè)階段。有一個(gè)階段，解決一些問題有助于理解概念并解鎖新的能力。此外，當(dāng)學(xué)生重復(fù)某一特定類型的問題時(shí)，他們見到同類問題就會(huì)形成自動(dòng)化的解題流程，從之前的能力提升轉(zhuǎn)變?yōu)樽詣?dòng)化解題。

表現(xiàn)獨(dú)立于數(shù)據(jù)和損失：教授數(shù)學(xué)概念的方法不止一種。使用不同書、教育方法或評(píng)分系統(tǒng)學(xué)習(xí)的學(xué)生最終可以學(xué)習(xí)到相同的內(nèi)容以及相似的數(shù)學(xué)能力。

有些問題更困難：在數(shù)學(xué)練習(xí)中，我們經(jīng)?？吹讲煌瑢W(xué)生解決同一問題的方式之間存在著很強(qiáng)的相關(guān)性。對(duì)于一個(gè)問題來(lái)說(shuō)，似乎確實(shí)存在一個(gè)固有的難度水平，以及一個(gè)對(duì)學(xué)習(xí)最有利的自然難度遞進(jìn)。

四、深度學(xué)習(xí)更像是統(tǒng)計(jì)估計(jì)還是學(xué)生學(xué)習(xí)技能？

上面兩個(gè)場(chǎng)景的比喻中，哪一個(gè)用來(lái)描述現(xiàn)代深度學(xué)習(xí)更恰當(dāng)？具體來(lái)說(shuō)，它成功的原因是什么？統(tǒng)計(jì)模型擬合可以很好地使用數(shù)學(xué)和代碼來(lái)表達(dá)。實(shí)際上，規(guī)范的 Pytorch 訓(xùn)練循環(huán)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化訓(xùn)練深度網(wǎng)絡(luò)：

在更深的層次上，這兩種場(chǎng)景之間的關(guān)系并不清楚。為了更具體，這里以一個(gè)特定的學(xué)習(xí)任務(wù)為例?？紤]使用 “自監(jiān)督學(xué)習(xí) + 線性探測(cè)” 方法訓(xùn)練的分類算法。具體算法訓(xùn)練如下：

1. 假設(shè)數(shù)據(jù)是一個(gè)序列，其中是某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（比如一張圖片），是標(biāo)簽。

2. 首先得到表示函數(shù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)最小化某種類型的自監(jiān)督損失函數(shù)，僅使用數(shù)據(jù)點(diǎn)而不使用標(biāo)簽來(lái)訓(xùn)練該函數(shù)。這種損失函數(shù)的例子是重建（用其它輸入恢復(fù)輸入）或?qū)Ρ葘W(xué)習(xí)（核心思想是正樣本和負(fù)樣本在特征空間對(duì)比，學(xué)習(xí)樣本的特征表示）。

3. 使用完整的標(biāo)記數(shù)據(jù)擬合線性分類器（是類數(shù)），以最小化交叉熵?fù)p失。我們的最終分類器是:

步驟 3 僅適用于線性分類器，因此 “魔術(shù)” 發(fā)生在步驟 2 中（深度網(wǎng)絡(luò)的自監(jiān)督學(xué)習(xí)）。在自監(jiān)督學(xué)習(xí)中有些重要屬性：

學(xué)習(xí)一項(xiàng)技能而不是去近似一個(gè)函數(shù)：自監(jiān)督學(xué)習(xí)不是逼近函數(shù)，而是學(xué)習(xí)可用于各種下游任務(wù)的表示(這是自然語(yǔ)言處理的主導(dǎo)范式)。通過(guò)線性探測(cè)、微調(diào)或激勵(lì)獲得下游任務(wù)是次要的。

多多益善：在自監(jiān)督學(xué)習(xí)中，表示質(zhì)量隨著數(shù)據(jù)量的增加而提高，不會(huì)因?yàn)榛旌狭藥讉€(gè)來(lái)源的數(shù)據(jù)而變?cè)?。事?shí)上，數(shù)據(jù)越多樣化越好。

Google PaLM 模型的數(shù)據(jù)集

解鎖新能力：隨著資源（數(shù)據(jù)、計(jì)算、模型大?。┩度氲脑黾樱疃葘W(xué)習(xí)模型也在不連續(xù)地改進(jìn)。在一些組合環(huán)境中也證明了這一點(diǎn)。

隨著模型規(guī)模的增加，PaLM 在基準(zhǔn)測(cè)試中顯示出不連續(xù)的改進(jìn)，并且解鎖令人驚訝的功能，比如解釋笑話為什么好笑

性能幾乎與損失或數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)：存在多個(gè)自監(jiān)督損失，圖像研究中其實(shí)使用了多種對(duì)比和重建損失，語(yǔ)言模型使用單邊重建（預(yù)測(cè)下一個(gè) token）或使用 mask 模型，預(yù)測(cè)來(lái)自左右 token 的 mask 輸入。也可以使用稍微不同的數(shù)據(jù)集。這些可能會(huì)影響效率，但只要做出 “合理” 的選擇，通常原始資源比使用的特定損失或數(shù)據(jù)集更能提升預(yù)測(cè)性能。

有些情況比其他情況更困難：這一點(diǎn)并不特定于自監(jiān)督學(xué)習(xí)。數(shù)據(jù)點(diǎn)似乎有一些固有的 “難度級(jí)別”。事實(shí)上，不同的學(xué)習(xí)算法具有不同的“技能水平”，不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)具有不同的” 難度水平“（分類器正確分類點(diǎn)的概率隨的技能而單調(diào)提升，隨難度單調(diào)降低）。

“技能與難度（skill vs. difficulty）”范式是對(duì) Recht 等人和 Miller 等人發(fā)現(xiàn)的 “accuracy on the line” 現(xiàn)象的最清晰解釋。Kaplen、Ghosh、Garg 和 Nakkiran 的論文還展示了數(shù)據(jù)集中的不同輸入如何具有固有的“難度剖面”，對(duì)于不同的模型族，該剖面通常是穩(wěn)健的。

CIFAR-10 上訓(xùn)練并在 CINIC-10 上測(cè)試的分類器的 accuracy on the line 現(xiàn)象。圖源：https://millerjohnp-linearfits-app-app-ryiwcq.streamlitapp.com/

頂部的圖描述了最可能類別的不同 softmax 概率，作為某個(gè)類別分類器的全局精度的函數(shù)，該類別由訓(xùn)練時(shí)間索引。底部的餅圖顯示了不同數(shù)據(jù)集分解為不同類型的點(diǎn)(注意，這種分解對(duì)于不同的神經(jīng)結(jié)構(gòu)是相似的)。

訓(xùn)練就是教學(xué)：現(xiàn)代大模型的訓(xùn)練似乎更像是教學(xué)生，而不是讓模型擬合數(shù)據(jù)，當(dāng)學(xué)生不懂或感到疲倦時(shí)，就 “休息” 或嘗試不同的方法（訓(xùn)練差異）。Meta 的大模型訓(xùn)練日志很有啟發(fā)性——除了硬件問題外，我們還可以看到干預(yù)措施，例如在訓(xùn)練過(guò)程中切換不同的優(yōu)化算法，甚至考慮 “hot swapping” 激活函數(shù)（GELU to RELU）。如果將模型訓(xùn)練視為擬合數(shù)據(jù)，而不是學(xué)習(xí)表示，則后者沒有多大意義。

Meta 訓(xùn)練日志摘錄

4.1）但是監(jiān)督學(xué)習(xí)怎樣呢？

前面討論了自監(jiān)督學(xué)習(xí)，但深度學(xué)習(xí)的典型例子，仍然是監(jiān)督學(xué)習(xí)。畢竟，深度學(xué)習(xí)的 “ImageNet 時(shí)刻” 來(lái)自 ImageNet。那么上面所討論的是否仍然適用于這個(gè)設(shè)定？

首先，有監(jiān)督的大規(guī)模深度學(xué)習(xí)的出現(xiàn)在某種程度上是個(gè)偶然，這得益于大型高質(zhì)量標(biāo)記數(shù)據(jù)集（即 ImageNet）的可用性。如果你想象力豐富，可以想象另一種歷史，即深度學(xué)習(xí)首先開始通過(guò)無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)在自然語(yǔ)言處理方面取得突破性進(jìn)展，然后才轉(zhuǎn)移到視覺和監(jiān)督學(xué)習(xí)中。

其次，有證據(jù)表明，盡管使用完全不同的損失函數(shù)，但監(jiān)督學(xué)習(xí)和自監(jiān)督學(xué)習(xí)在”內(nèi)部“的行為其實(shí)是相似的。兩者通常都能達(dá)到相同的性能。具體地，對(duì)于每一個(gè)，人們可以將通過(guò)自監(jiān)督訓(xùn)練的深度為 d 的模型的前 k 層與監(jiān)督模型的最后 d-k 層合在一起，而性能損失很小。

SimCLR v2 論文的表格。請(qǐng)注意監(jiān)督學(xué)習(xí)、微調(diào)（100%）自監(jiān)督和自監(jiān)督 + 線性探測(cè)之間在性能上的一般相似性（圖源：https://arxiv.org/abs/2006.10029）

拼接自監(jiān)督模型和 Bansal 等人的監(jiān)督模型（https://arxiv.org/abs/2106.07682）。左：如果自監(jiān)督模型的準(zhǔn)確率（比如）比監(jiān)督模型低 3%，則當(dāng)層的 p 部分來(lái)自自監(jiān)督模型時(shí)，完全兼容的表示將導(dǎo)致拼接懲罰為 p 3%。如果模型完全不兼容，那么我們預(yù)計(jì)隨著合并更多模型，準(zhǔn)確率會(huì)急劇下降。右：合并不同自監(jiān)督模型的實(shí)際結(jié)果。

自監(jiān)督 + 簡(jiǎn)單模型的優(yōu)勢(shì)在于，它們可以將特征學(xué)習(xí)或 “深度學(xué)習(xí)魔法”（由深度表示函數(shù)完成）與統(tǒng)計(jì)模型擬合（由線性或其他“簡(jiǎn)單” 分類器在此表示之上完成）分離。

最后，雖然這更像是一種推測(cè)，但事實(shí)上 “元學(xué)習(xí)” 似乎往往等同于學(xué)習(xí)表征（參見：https://arxiv.org/abs/1909.09157，https://arxiv.org/abs/2206.03271 ），這可以被視為另一個(gè)證據(jù)，證明這在很大程度上是在進(jìn)行的，而不管模型優(yōu)化的目標(biāo)是什么。

4.2）過(guò)度參數(shù)化怎么辦？

本文跳過(guò)了被認(rèn)為是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)模型和深度學(xué)習(xí)在實(shí)踐中存在差異的典型例子：缺乏 “Bias-Variance 權(quán)衡” 以及過(guò)度參數(shù)化模型的良好泛化能力。

為什么要跳過(guò)？有兩個(gè)原因：

• 首先，如果監(jiān)督學(xué)習(xí)確實(shí)等于自監(jiān)督 + 簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)，那么這可能解釋了它的泛化能力。

• 其次，過(guò)度參數(shù)化并不是深度學(xué)習(xí)成功的關(guān)鍵。深度網(wǎng)絡(luò)之所以特別，并不是因?yàn)樗鼈兣c樣本數(shù)量相比大，而是因?yàn)樗鼈冊(cè)诮^對(duì)值上大。事實(shí)上，通常在無(wú)監(jiān)督 / 自監(jiān)督學(xué)習(xí)中，模型不會(huì)過(guò)度參數(shù)化。即使對(duì)于非常大的語(yǔ)言模型，它們的數(shù)據(jù)集也更大。
  

Nakkiran-Neyshabur-Sadghi“deep bootstrap”論文表明，現(xiàn)代架構(gòu)在 “過(guò)度參數(shù)化” 或“欠采樣”狀態(tài)下表現(xiàn)類似（模型在有限數(shù)據(jù)上訓(xùn)練多個(gè) epoch，直到過(guò)度擬合：上圖中的 “Real World”），在“欠參數(shù)化” 或者 “在線” 狀態(tài)下也是如此（模型訓(xùn)練單個(gè) epoch，每個(gè)樣本只看一次：上圖中的 “Ideal World”）。圖源：https://arxiv.org/abs/2010.08127

總結(jié)

統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)當(dāng)然在深度學(xué)習(xí)中發(fā)揮著作用。然而，盡管使用了相似的術(shù)語(yǔ)和代碼，但將深度學(xué)習(xí)視為簡(jiǎn)單地?cái)M合一個(gè)比經(jīng)典模型具有更多參數(shù)的模型，會(huì)忽略很多對(duì)其成功至關(guān)重要的東西。教學(xué)生數(shù)學(xué)的比喻也不是完美的。

與生物進(jìn)化一樣，盡管深度學(xué)習(xí)包含許多復(fù)用的規(guī)則（如經(jīng)驗(yàn)損失的梯度下降），但它會(huì)產(chǎn)生高度復(fù)雜的結(jié)果。似乎在不同的時(shí)間，網(wǎng)絡(luò)的不同組件會(huì)學(xué)習(xí)不同的東西，包括表示學(xué)習(xí)、預(yù)測(cè)擬合、隱式正則化和純?cè)肼暤?。研究人員仍在尋找合適的視角提出有關(guān)深度學(xué)習(xí)的問題，更不用說(shuō)回答這些問題。

原文鏈接：https://windowsontheory.org/2022/06/20/the-uneasy-relationship-between-deep-learning-and-classical-statistics/