機器學(xué)習(xí)中，梯度下降算法的問題引入

今天講解的內(nèi)容是梯度下降算法。
梯度下降算法在機器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用十分廣泛，該算法的最主要目的是通過迭代的方法找到目標(biāo)函數(shù)的最小值，經(jīng)常用來解決線性回歸和邏輯回歸等相關(guān)問題。本節(jié)課主要講解梯度下降算法解決一元線性回歸問題，包括四個部分，問題引入、數(shù)學(xué)理論、算法實現(xiàn)、上機實驗。
1、問題引入

來看一個生活中的例子。在買房的時候，房屋價格是人們最關(guān)心的問題，都希望買到性價比高的房子。有很多特征影響房屋的價格，例如面積、地理位置、交通、樓層、綠化程度等等。其中面積與房價最為相關(guān)。

2、數(shù)學(xué)理論

來看一組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包括8套房屋的面積和成交價格的對應(yīng)關(guān)系。

例如，0號房子面積為50平米，成交價為280萬。那么是否可以根據(jù)這組數(shù)據(jù)，找到房子面積和成交價格的對應(yīng)關(guān)系，從而未來利用這個關(guān)系，根據(jù)面積，計算出價格呢？為了更明顯的觀察出面積和價格之間的關(guān)系，將這組數(shù)據(jù)標(biāo)記在坐標(biāo)系中，其中橫坐標(biāo)表示面積，縱坐標(biāo)表示價格。

可以發(fā)現(xiàn)，這些離散的點之間存在著線性關(guān)系，我們可以使用一條直線來描述這種線性關(guān)系，使得這些點盡量均勻的分布在直線兩側(cè)。因為通過一條直線近似表示自變量與因變量的關(guān)系，所以被稱為線性回歸。而只有一個自變量，面積影響因變量價格，所以是一元線性回歸。

我們使用平面上的直線來描繪一元線性回歸的線性關(guān)系。直線方程hθ(x)=θ0 + θ1x，其中x代表面積，hθ(x)代表預(yù)測的房價，方程有兩個參數(shù)，截距θ0和斜率θ1，當(dāng)θ0和θ1 取不同的值時，可以得到不同的直線方程hθ(x)。后面就要找出最合適的θ0和θ1，使得直線hθ(x)最好的描繪出面積和價格的關(guān)系。

3、算法實現(xiàn)

嘗試畫出幾組直線表示房屋面積和房價。例如，當(dāng)θ0 = 0 ，θ1 = 4 時，得到圖像1，很明顯，斜率偏小，截距偏小。修改θ0 = 10，θ1 = 5，得到圖像2，這條直線就基本符合面積和價格的關(guān)系了。

在此基礎(chǔ)上，我們可以繼續(xù)調(diào)整，挑選出一條最合適的直線。但是這時又出現(xiàn)一個問題，在調(diào)整過程中，直線變化不大，很難通過直觀感受判斷哪條直線最符合面積和房價之間的關(guān)系。

這時就需要使用均方誤差來精確的選出最合適的直線，即最合適的θ0和θ1。
均方誤差，MSE，mean square error，是反映真實值與預(yù)測值之間差異程度的一種度量。在樣例數(shù)據(jù)中，真實房價與預(yù)測房價之間的差異程度，就可以使用均方誤差來衡量。均方誤差越小，說明用來預(yù)測的直線就越合適。

假如有m個樣本，每個樣本為平面中的一個點，第i個樣本表示為xi,yi。例如，表中有8個樣本，m=8，x代表面積，y代表價格，x0=50，y0=290，x1=60，y1=305。預(yù)測直線為hθ(x)=θ0+θ1x，那么hθ（x0)，hθ（x1)，hθ（xi)分別為第0個，第1個，第i個樣本的預(yù)測值。這里如果我們選定了某個預(yù)測直線，那么θ0，θ1也就確定了，從而根據(jù)直線公式和房屋面積，也可以將樣本的預(yù)測值計算出來。

均方誤差的公式為，m分之sigema i= 1累加至m  h θ xi 減 yi 差的平方，其中m為樣本的個數(shù)， h θ xi 為第i個樣本的直線預(yù)測值，yi為第i個樣本的真實值。那么均方誤差公式即求m個樣本的直線預(yù)測值與真實值差的平方和，再取平均。

4、上機實驗

例如，假如預(yù)測直線的θ0 =10，θ1 = 5，即h(x) = 5x +10。那么8個樣本，根據(jù)面積，可以計算預(yù)測價格為260，310，360，410，460，510，560，610。通過均方誤差公式，得到均方差為268.75。不同的θ0和θ1會計算得到不同的均方差，均方差越小，θ0和θ1就越合適。

在此基礎(chǔ)上，定義代價函數(shù)J(θ)為1/2倍的均方誤差，由于樣本的個數(shù)m，每個樣本的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y都是已知的，所以代價函數(shù)J(θ)中的未知數(shù)為直線方程的截距θ0與斜率θ1。那么問題就轉(zhuǎn)化為，求出一組θ0和θ1，使得代價函數(shù)J(θ)取得最小值。

例如，表格中有3個樣本，x0，y0，x1，y1，x2，y2。預(yù)測直線為hθ(x)=θ0+θ1x，那么將J(θ)展開得到關(guān)于θ0與θ1的二元表達式。即求J(θ0，θ1)中使取得最小值θ0，θ1。

那么如何求出θ0和θ1呢？就可以使用本節(jié)課要講的梯度下降算法了。至此，梯度下降算法的引入就講完了，我們下節(jié)課再見。