基于遺傳算法的復雜無源濾波器參數(shù)設(shè)計

　　無源濾波器在電子技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應用。針對某一應用的復雜無源濾波器,往往結(jié)構(gòu)容易確定,參數(shù)調(diào)整卻十分困難。其原因是：結(jié)構(gòu)中的組成元件電阻、電容、電感個數(shù)較多,頻率特性與元件參數(shù)的關(guān)系是一個高階的非線性函數(shù),相互間對頻率特性的影響存在著高度的耦合,因而欲達到頻率特性優(yōu)良的設(shè)計目的,無論采用實驗手段還是常規(guī)數(shù)學手段,都需花費大量的時間與精力。

　　近年來,模擬生物進化過程的遺傳算法作為求解優(yōu)化問題的有效手法而倍受關(guān)注。正如Ｔｈｏｍａｓ Ｂａｃｋ等人指出１,同其他手法相比,其優(yōu)點在于：處理問題的靈活性、適應性、魯棒性,能取得全局解,對模型要求低,針對不同問題設(shè)計的不同遺傳算法,不僅能提高現(xiàn)有解的優(yōu)化品質(zhì),還能攻克某些難度大的優(yōu)化問題。

　　本文以遺傳算法的應用為出發(fā)點,提出了一種新的無源濾波器參數(shù)設(shè)計方法。它能有效克服上述無源濾波器參數(shù)設(shè)計的困難,十分方便地取得滿足性能指標要求的參數(shù)設(shè)計值。

　　１ 優(yōu)化模型的建立

　　典型的無源濾波器電路組成元件一般按Ｔ型結(jié)構(gòu)連接,如圖１所示。濾波器的頻率特性可以用功率傳輸函數(shù)來定義,即：

　　其中,Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ],為電路的元件參數(shù)值矩陣,ｎ為元件總個數(shù),Ｗ為頻率。若Ｘ已知,頻率采樣點Ｗｉ對應的頻率特性Ｌｉ可按下述方法計算：

　　設(shè) Ｉ１＝ＩＬ＝０．１,

　　Ｖ１＝ＩＬＲＬ＋０＝ＶＬ

　?。桑玻剑郑保伲保桑?/P>

　?。郑常剑桑玻冢玻郑?/P>

　?。郑玻睿保剑桑玻睿冢玻睿郑玻睿?/P>

　　Ｉ２ｎ＋２＝Ｖ２ｎ＋１Ｙ２ｎ＋１＋Ｉ２ｎ

　?。牛螅剑遥螅桑玻睿玻郑玻睿?/P>

　　用簡易的迭代程序求得Ｅｓ,代入式(１)即可求得Ｌｉ。

　　濾波器的結(jié)構(gòu)已知后,先確定結(jié)構(gòu)中的參數(shù)取值范圍,選擇的條件可以比較寬松,然后按預期的性能指標要求,選定適當個頻率采樣點Ｗ１,Ｗ２,．．．,規(guī)定其對應功率傳輸函數(shù)幅度界限值,迫使它調(diào)整后經(jīng)過采樣點時,滿足幅度界限要求（大于、小于或介于）。由此獲得的新設(shè)計參數(shù)Ｘ*即是滿足預期性能指標的設(shè)計值。為求得Ｘ*,建立如下優(yōu)化模型：

　　其中,Ｘ的定義同前,Ｔ＝[Ｔ１,Ｔ２,．．．]為幅度界限值矩陣,Ｓ＝[Ｓ１,Ｓ２,．．．]為加權(quán)系數(shù)矩陣,Ｕ＝[Ｕ１,Ｕ２,．．．]為裕度矩陣,ＸＬ、ＸＵ分別為設(shè)計參數(shù)的上下界限矩陣。ｐ為偶次方,ｍ為采樣點總數(shù),Ｒｉ稱為余差,具體表達式為：

　　下界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（＋[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

　　上界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（－[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

　　顯然,當存在解Ｘ使Ｆ函數(shù)最小時,Ｌｉ的值應能控制在Ｔｉ的要求范圍內(nèi),從而使頻率特性滿足指標要求,因此該解即可視為Ｘ*。

　　２ 優(yōu)化模型的求解

　　遺傳算法是一個強有力的求優(yōu)算法,它首先隨機地產(chǎn)生一組潛在的解Ｘ（該解稱為“染色體”,解的特定集合稱為“人口”,解中的變量稱為“基因”）,然后采用生物進化的過程（如染色體交叉變異淘汰等）不斷提高解的品質(zhì),最后獲得最優(yōu)解。遺傳算法有兩個重要控制參數(shù)——交叉率Ｐｃ和變異率Ｐｍ對算法的收斂速度有較大影響,文獻[３]采用確定不變的Ｐｃ和Ｐｍ而本文采用隨世代數(shù)增加而不斷自動調(diào)整的Ｐｃ和Ｐｍ。這樣做的目的在于：在進化的初期,人口的差異一般較大,交叉率大和變異率小有助于加快收斂,而在進化的后期,交叉率小和變異率大有助防止過早陷入局部最優(yōu)點。公式如下：

　?。校?ｇｅｎ)＝Ｐｃ(ｇｅｎ－１)－[Ｐｃ（０）－０．３]／ＭＡＸＧＥＮ

　　Ｐｍ（ｇｅｎ）＝Ｐｍ（ｇｅｎ－１）＋[０．３－Ｐｍ（０）／ＭＡＸＧＥＮ

　　其中,ｇｅｎ表示世代數(shù),ＭＡＸＧＥＮ表示最大世代數(shù),具體算法如下：

　　第１步,全局參數(shù)設(shè)定

　　給出ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ（人口數(shù)）、Ｐｃ（０）、Ｐｍ（０）、ＭＡＸＧＥＮ和設(shè)計次數(shù)ｄｃｎｔ的大小或范圍。

　　第２步,人口的產(chǎn)生及初使化

　　設(shè)世代數(shù)ｇｅｎ＝１。以設(shè)計參數(shù)為變量,組成矩陣Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ]。第一代人口由ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個染色體構(gòu)成,每個染色體的基因（即設(shè)計參數(shù)）在參數(shù)各自取值范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生。

　　第３步,染色體評價

　　為了評價代世代中染色體Ｘ的優(yōu)劣,建立染色體適應性評價函數(shù)ｅｖａｌ（Ｘ）：

　　ｅｖａｌ（Ｘ）＝｛F（X,T,S,U）;當X滿足約束條件 M,M為一大正數(shù);當X不滿足約束條件

　　對本問題,評價函數(shù)越小越好。

　　第４步,基因操作

　　通?；虿僮饔薪徊?、變異、選擇三種(２)。

　　基因交叉：設(shè)交叉計數(shù)器ｃｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)ｒｋ（ｋ＝１,２,．．．,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ）,如果ｒｋ＜Ｐｃ（ｇｅｎ）,則選擇Ｘｋ為交叉用;使交叉染色體配對進行如下位交叉操作：

　?。兀辏絒Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ] Ｘｊ′＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ

　?。兀欤絒Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ] Ｘｌ′＝[Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ]

　　其中Ｘｊ、Ｘｌ為配對染色體,Ｘｊ′、Ｘｌ′為交叉后染色體。ｐ為隨機選擇的交插位,接受交叉操作的染色體個數(shù)記入ｃｃｎｔ中。

　　基因變異：設(shè)變異計數(shù)器ｍｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)ｒｋ(ｋ＝１,２,．．．,ｎ×ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＋ｎ×ｃｃｎｔ),如果ｒｋ＜Ｐｍ(ｇｅｎ),則第ｋ個基因進行變異操作,并使ｍｃｎｔ＝ｍｃｎｔ＋１。新基因Ｘｋ′隨機產(chǎn)生于區(qū)間[(１－α)Ｘｋ,(１＋α)Ｘｋ];其中１≤ｉ≤ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ,α為[０,１]范圍內(nèi)選定常數(shù)。

　　染色體選擇：計算新生染色體Ｘｎ′的評價函數(shù)ｅｖａｌ(Ｘｎ′)(ｎ＝１,２,．．．,ｃｃｎｔ＋ｍｃｎｔ　和父代染色體Ｘｎ的評價函數(shù)ｅｖａｌＸｎ?。煟睿剑雹煟并煟煟校希校撸樱桑冢拧?并按適應性大小排列,選出其中適應性最強的ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個染色體構(gòu)成新一代人口并保留上述過程中最佳染色體Ｖ*,這個過程稱為“適者生存”選擇。

　　第５步,單次過程結(jié)束判斷

　　當Ｆ＜Ｅｒ時(Ｅｒ為一小數(shù)量級數(shù)值　,Ｘ*＝Ｖ*,輸出Ｘ*,轉(zhuǎn)第６步。

　　當Ｆ≤Ｅｒ且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時,ｇｅｎ＝ｇｅｎ＋１,返回第３步。

　　當Ｆ≥Ｅｒ時且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時,返回第２步。

　　第６步,全過程結(jié)束判斷

　?。洌悖睿簦剑洌悖睿簦?當ｄｃｎｔ＞０時,返回第２步;否則,停機。

　　３ 數(shù)值實驗例

　　圖２為一帶通無源濾波器電路結(jié)構(gòu),通頻帶要求在９５０～１０５０ ｒａｄ／ｓ之間。為此,每隔５ ｒａｄ／ｓ作一次采樣,采樣點的幅度大于０．８５;設(shè)定低頻截止頻率為８００ ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５;高頻截止頻率為１３００ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５。建立如下優(yōu)化模型：

　　ｓ．ｔ． ＸＬ＝[０,０,．．．,０]＜Ｘ＜ＸＵ＝[１８,１８,．．．,１８]

　　其中

　?。兀絒Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘ１９]＝[Ｌ,Ｃ３,Ｃ４,Ｌ６,Ｌ７,Ｃ７,Ｌ９,Ｌ１０,Ｃ１２,Ｌ１３,Ｃ１３,Ｌ１５,Ｌ１６,Ｃ１８,Ｌ１９,Ｃ１９,Ｌ２１,Ｌ２２,Ｃ２４];

　　Ｒ１＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ１]－０．０,０）,對應Ｗ１＝８００ｒａｄ／ｓ

　?。遥辏剑保啊粒停椋?＋[Ｌｊ－０．８５]－０．０５,０);ｊ＝２,３,．．．,２２,對應Ｗｊ＝(５×ｊ＋９４０)ｒａｄ／ｓ

　　Ｒ２３＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ２３]－０．０,０）,對應Ｗ２３＝１３００ｒａｄ／ｓ

　　在ＮＥＣ４８００／２１０Ⅱ工作站完成上述算法。算法的參數(shù)設(shè)置為Ｅｒ＝１ｅ－６,α＝０．１,Ｐｃ＝Ｐｃ(０)＝０．６,Ｐｍ(０)＝０．１,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＝４０,ＭＡＸＧＥＮ＝２０００,程序語言為ＵＮＩＸ－Ｃ。ｄｃｎｔ?。保?得到１０組設(shè)計值,皆能使頻率特性滿足要求。平均世代數(shù)為１５０８代,平均時間為９．８ｍｉｎ。其中一組結(jié)果為:

　?。?＝[０．０７９２１２．６５１４０．０７５２１３．０１５７０．１０５８３．３１３１ ０．１７９３１３．３３８６０．０７２６０．１３３４３．３２６０．１７２２１５．１２１８０．０６３３０．０８７６１．９２８８０．３３３３１０．３１７１０．０９００]。

　　按此參數(shù)設(shè)計后,濾波器頻率特性較好地達到了預期要求,如圖３所示。

　　本文簡要分析了無源濾波器參數(shù)設(shè)計存在困難的主要原因。對無源濾波器的常用電路結(jié)構(gòu),提出了計算頻率特性的簡易迭代法,并將求解滿足指標要求的參數(shù)設(shè)計值的問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型的求解過程,使的原來難以描述和解決的設(shè)計問題變得明確和簡單。

　　在遺傳算法方面,我們并不照搬前人的方法[３],例如,把最小目標函數(shù)的求解要求轉(zhuǎn)化為進化的驅(qū)動力而不是刻意求得最優(yōu)解,不僅減少了計算時間,還可提供設(shè)計者多種可選擇的方案。在遺傳算法的變異階段,采用的是以現(xiàn)有的基因為中心的左右變異方法,有別于常用的在變量范圍內(nèi)變異的方法。因本法中心不斷靈活飄移,求解過程出現(xiàn)兩個極端,即快速找到合適解或走入死區(qū)——永遠找不到解。我們通過設(shè)定最大世代數(shù)消除了后者的可能性,總體上提高了效率。

　　本法有效地克服了無源濾波器參數(shù)設(shè)計的困難,具有普遍性的價值和意義。其基本思想及原理亦可在電氣、電子、自動化等較復雜系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計領(lǐng)域得到廣泛的應用。